第四讲 圆心角.docVIP

第四讲 圆心角 一、知识点： 1、圆心角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧． 如图1中，∠ 是圆心角，这个圆心角所对的弦为 ，所对的弧为 2、圆心角、弧、弦之间的关系: 性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等． 　　性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等． 　　如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即： 　　若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立； 　　若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立． 特别强调： (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等． (2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧． 二．例题精讲： 例1. 已知：如图所示，AD=BC。 求证：AB=CD。 变式练习：已知：如图所示，=，求证：AB=CD。 例2 在圆O中， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC D、E是圆O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA、CE⊥OB，CD=CE，则与的关系是？ 例4 已知AB为圆O直径，M、N分别为OA、OB中点，CM⊥AB，DN⊥AB。求证：。 例5 AB、CD为圆O两直径，弦CE//AB，， 求∠BOD。 点O在∠EPF的平分线上，圆O与∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D， 求证AB=CD。 例7 在圆O中，AC=DB，求证： 三．同步练习 1. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。 2. 在⊙O中的两条弦AB和CD，ABCD，AB和CD的弦心距分别为OM和ON，则OM__________ON。 3. 已知：如图，AB=AC，D为弧AB的中点，G为弧AC中点，求证：DE=FG。 4. AB、CD是⊙O内两条弦，且AB=CD，AB交CD于P点，求证：PC=PB。 5. 若两弦相等，则它们所对的弧相等。（ ） 6. 若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为60°。（ ） 7. 若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大。（ ） 8. 若两条弧的度数相等，那么这两条弧是等弧。（ ） 9. 在⊙O中，直径AB为6cm,弦BC为4cm，则弦BC的弦心距为_____ cm。 10. 在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距为，求圆心角∠AOB。 11. 已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别为AB、CD的中点。 求证：∠AEF=∠CFE。 12. 已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。 求证：PA=PC。 13. 如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°， 则弧EF的度数为 ，弧BF的度数为 ，∠EOF= °，∠EFO= 14. AB为⊙O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠COD= °，∠DOB= °。 15. 已知⊙O的半径为12cm,弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为1∶5，求∠AOB的度数及弦AB的长。 16. 已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和 角的两边分别交于点A、B 和C、D。求证：∠OBA=∠OCD。 17. 已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。 四．提高训练： 1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由． 2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 3.如图，为圆O的直径，，垂足为，A是弧BF的中点，与交于． （1）求证：； （2）若，把半圆三等分，，求的长． 4.如图：我市路桥公司准备新建一座石拱桥.桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为40m，拱高（弧的中点到弦的距离）为8m.