Z变换与离散时间系统的Z域分析知识点.doc

第9章Z变换与离散时间系统的Z域分析 z变换是对离散序列进行的一种数学变换z变换在工程上的应用直到20世纪50年代与60年代随着采样数据控制系统、数字通信以及数字计算机的研究与实践迅速开展才得以实现，并成为分析这些离散系统的重要数学工具。 类似与连续系统分析中拉氏变换可以将线性时不变线性z域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化，还可以利用系统函数来分析系统的时域特性、频率响应以及稳定性等，因而在数字信号处理、计算机控制系统等领域有广泛的应用。变换的定义可以从两个方面引出，一是由采样信号的拉氏变换过渡到z变换，二是直接针对离散信号得出。为了强调拉氏变换与z变换之间的联系，首先从抽样信号的拉氏变换推演出z变换。 9.1.1 从抽样信号的拉氏变换导出z变换 定义在区间上的任意有界连续信号经过单位冲激周期信号 抽样后所得到的抽样信号可以表示为 （9.1） 式（9.1）中，为抽样间隔，对式（9.1）取双边拉氏变换可得 交换积分与求和次序，并利用冲激函数的性质可得 （9.2） 式（9.2）中并非复变量s的代数式，故引入一个新的复变量，即令 （9.3） 这样，式（9.2）变为变量的函数，有 （9.4） 于是得到一个以为变量的代数式，即序列的变换，其本质上是序列的拉氏变换。若令，即有，则由式（9.4）可得 （9.5） 式（9.5）中，符号表示对任意有界序列进行变换，求和变量从到表明这种变换是针对一切值都有定义的一般序列而给出的，故称之为序列的双边z变换。是使和存在的的取值范围，称为的收敛域。 现在来讨论单边Z变换的定义。单边Z变换也是对任意有界序列定义的，这时，可以假定为一连续因果信号，将上面推导中单位冲激周期信号表示式中的求和下限改为0，对所得抽样信号进行单边拉氏变换，并在变换结果中令，便得到单边z变换的定义为 （9.6） 在上面的双边和单边变换的推导过程中，我们曾将抽样周期归一化为1，亦即将抽样频率归一化为，于是得到。这表明，若将离散序列视为是对连续信号进行抽样的结果，则可以认为抽样周期等于1，抽样频率等于。认识这一点有助于理解离散序列的频率特性。此外，我们还设定或，由此将离散序列与连续信号在变换域中联系了起来，更明确地说就是在拉氏变换中的平面与变换中的平面之间建立了一种映射关系，借此可以解释离散信号和系统与连续信号和系统之间许多彼此相同的特性。 9.1.2 z变换的原始定义 从抽样信号的拉氏变换推导出变换，不仅表明了这两种变换之间存在着众多的内在关系，而且贯通了连续系统与离散系统之间的有机联系，从而可以借助离散系统对连续系统进行近似的数值分析、计算和模拟。但是，实际上，从数学上也可以直接给出序列的双边z变换和单边z变换的定义，仍如式（9.5）和（9.6）所示。这时，认为它们是变换的原始或者说是基本定义。这种定义方式完全无关于连续时间信号与系统，使我们不会简单地认为变换就是拉氏变换的自然延伸，从而更能表现出变换自身的独立性与应用上的广泛性。 9.2双边z变换与单边z变换的关系 由式（9.5）和（9.6）可知，双边z变换与单边z变换的关系为 （9.7） 式（9.7）中，，，可见，因果序列的单边z变换与双边z变换的结果相同，否则两者不相等。由于单边变换的求和下限为，所以任一有界序列（因果或非因果序列）的单边变换等于因果序列的双边变换。 由式（9.5）和（9.6）可知：（1）序列的变换实质是以序列值为加权系数的复变量的幂级数，亦即复变函数中的罗朗级数。对于在区间存在非零有限值的序列，其双边变换即包含的正幂级数项，又包含的负幂级数项，而其单边z变换仅为的负幂级数；（2）序列的每个样点值都有一个对应的变换，整个序列的变换是所有样点值的变换之和。 z变换在离散系统中的应用与拉氏变换在连续系统中的应用类似。由于单边变换可以考虑到初始条件，所以用于在已知系统的初始状态以及序列的初始条件时求取系统的瞬态响应，既可以求零输入响应，也可以求零状态响应。例如在求解因果系统差分方程的暂态解时，则需要用到单边z变换。此外，由于实际信号多为因果序列，单边变换比双边变换容易收敛，所以在实际中应用较广；双边z变换由于其中序列的取值范围为，无法考虑初始条件，所以用于研究离散系统的稳态响应，例如在数字信号处理与数字滤波器的理论与技术中。双边z变换的信号不必限制在范围内，因而比单边z变换更能全面地讨论问题，例如z变换的性质与收敛域等；此外，双边z变换便于与双边拉氏变换，特别是傅立叶变换直接产生联系，因而较多地用于信号处理理论中。 在零状态下或是对于因果序列，单边z变换便是双