2.10函模型及其应用.doc

eq \a\vs4\al(第十节　函数模型及其应用) [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1.函数模型考查的重点是函数模型的建立以及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求解最值，如2012年江苏T17等． 2.考查题型以解答题为主. [归纳·知识整合] 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 　　 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增函数 单调递增函数 单调递增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 [探究]　1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？ 提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢． 2．你认为解答数学应用题的关键是什么？ 提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为(　　) A．5 h　　　　　　　　　　 B．10 h C．15 h D．30 h 解析：选B　假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是f(x)＝m·2eq \f(x,2)，细菌B的数量是g(x)＝m·4eq \f(x,5)，令m·2eq \f(x,2)＝2·m·4eq \f(x,5)，解得x＝10. 2．(教材习题改编)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝eq \f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61cos x 解析：选B　通过检验可知，y＝log2x较为接近． 3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是(　　) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：选D　y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200. 4．(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________． 解析：因为储蓄按复利计算，所以本利和y随存期x变化的函数关系式是y＝a(1＋r)x，x∈N*. 答案：y＝a(1＋r)x，x∈N* 5．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元． 解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元． 答案：12.5 利用函数刻画实际问题 [例1]　如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　) A．1个