离散数学课练习3.doc

第三章习题 1.判断下列各题的正确与错误。 （1）{x}{x} （2）{x}{x} （3）{x}{x, {x}} （4）{x}{x, {x}} 解：（1）正确，（2）错误，（3）正确，（4）正确。 2.写出下列集合的表示式 （1）所有一元一次方程的解能组成的集合； （2）在实数域中因式集； （3）直角坐标系中，单位圆外的点集； （4）极坐标中，单位圆外的点集； （5）能被5整除的整数集。 解：（1） （2） （3） （4） （5） 3.确定下列各题是真还是假，并简要说明之： （1） （5） （２）　　　　　　　　　　（６） （３） （7） （４） （8） 解：（1）正确即命题为真。因为空集是任何集合的子集。 （２）不真即假命题。　属于关系是元素与集合的　　关系 （３）真命题 （４）真命题 （５）真命题 （６）假命题 （７）真命题 （８）真命题 　　　 设Ａ，Ｂ，Ｃ为任意集合，证明或反驳下列命题： （１） （２） （３） （４） （５） （6） （7） （８） 解：（１）错误。反例： （2）错误。反例： （3）错误。反例： （4）错误。反例： （5）正确。因为。 又因为，所以， 又因为 所以。 （6）正确。由（5）。 （7）错误。反例：。 （8）错误。反例：。 5、试求下列各集的幂集： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） {{{}}，{，{{}}}，{，{},{{}}},{,{},{,{}}},{,{{}},{,{{}}}} ,{{},{{}},{，{}}}，{，{}，{{}}，{，{{}}}} 6，设某集合有101个元素，试问 可构成多少个子集？ 其中有多少个子集的元素为奇数？ 是否会有102个元素的子集？ 解：（1）可构成个子集。 （2）其中有++…+=个集合元素为奇数。 （3）不会有102个元素的子集。 7.设S={,,…, },由和所表达的子集是什么？ 又如何去规定子集{，，}及{，}？(超出教科书范围) 8．分别求下列集合的交和并： （1）={x|0x1/n}(n=1,2,3…..) (2) ={x|0x1/n}(n=1,2,3…..) （3） 解：（1） （2） （3） 9．给定自然数集N的下列子集：A={1、2、7、8} C={i|i可被3整除，0i30} 求下列集合： （1） (2) （3) (4) 解：根据定义知 B={0、1、2、．．．７} C=(0、3、6、9、12、15、18、21、24、27、30) D={2 4 6 8 16 32 64 } 因此 （1） = {0,1,2,3,4,5,6,7,9,12,15,18,21,24,27,30,8,16,32,64} (2) = (3)={4,5,7} (4)={0，3，4，5，6}D={0，2，3，4，5，6，8，16，32，64} 10.证明下列各式： （1） 证：有或，有（且）， 或，从而或即 因此 另一方面，，有或，从而（且） 或，即，从而， 因此。 （2） 证：反证法.假设,则存在, 即且.从而且且.矛盾. 所以.. (3) 证: 首先证明 从而. (4) 证: 左 右. (5) 证:左= 右 (6) 证:左 =右 （7） 证：右= ====左 （8） 证：左= = = = ==右 （9） 证：左= = = ==右 （10） 证：左= = 右 ：教材印刷有误！ ⑾ 证：左 ⑿ 证：利用⑾题方法可证。 ⒀ 证：右左 ⒁ 证： =（CA~C）(CA~B) =(CA~B)= C (A~B)= C(A-B)=左 （15） 证：左 右 11.证明下列各对条件是等价的： （1） 证明：由 （2）且 证：由，显然有且.另一方面.若且，则有或.由条件得.所以.因此，与且是等价的。 证：，易推出 另一方面，若，则，由条件知 ，从而，，即 因此与是等价的。 证：若 所以， 若则 所以， 因此 。 证：若 所以 若，则 从而有 因此，。 （6） 证：若 所以 因此 12、要使下列等式成立，集合A与B之间应满足什么条件？ 从而，有 即 即 同理，由 可推出 所以有A=B 即 （5） 解： 即 由得 因此， （6） 解：因为 所以，由得 从而有 从而有 即 因此，若，则有 （9）当且仅当 解： CA