重点难点重：①函数单调性的定义②函数的最大(小)值.ppt

重点难点 重点：①函数单调性的定义． ②函数的最大(小)值． 难点：①函数单调性的证明． ②求复合函数单调区间． 知识归纳 一、单调性定义 1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，若对于任意的x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于任意的x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数． 2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明． (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1x2； ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． (2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)0，则f(x)在区间D内为减函数． 二、单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数． 5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 三、函数单调性的应用有： (1)比较函数值或自变量值的大小． (2)求某些函数的值域或最值． (3)解证不等式． (4)作函数图象． 四、函数的最大(小)值： 1．定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足： (1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)； (2)存在x0∈Ⅰ使得f(x0)＝M. 称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值． 2．求法： (1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法． 误区警示 1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点 (1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调． (2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替． (3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)f(x2)?x1x2(或x1x2)． 2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域 一、利用复合函数的单调性解题 对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域. 证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 分析：证明函数的单调性可以用定义证明，也可以用导数证明．本例证明f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，用导数证，只须证明f ′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，用定义证，由于f(x)有两个不同类型的项，作差后可分别处理讨论符号． 证明：方法1：任取x1、x2∈(－1，＋∞)， 不妨设x1x2， 则x2－x10，ax2－x11且ax10， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)0， 又∵x1＋10，x2＋10， A．bac　　　　　　 B．cba C．bca D．abc (1)若a0，则f(x)的定义域是________； (2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________． (2)首先0a1时，a－10,3－ax为减函数， ∴f(x)在其定义域上为增函数， 其次a0时，a－10,3－ax为增函数， ∴f(x)在其定义域上为减函数， (1)判断并证明f(x)在R上的单调性； (2)求f(x)在[－3,3]上的最值． 解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数 证明如下： 令x＝y＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x可得： f(－x)＝－f(x)， 在R上任取x1、x2且x1x2，则x2－x10， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． 又∵x0时，f(x)0， ∴f(x2－x1)0，即f(x2)f(x1)． 由定义可知f(x)在R上为单调递减函数． (2)∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(－3)最大，f(3)最小． f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1) (理)定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(