函数中的周期与对称.doc

函数中的周期与对称 常见结论： 1）、若函数满足：（或）则的图象 关于点 对称 （注：当时，即为奇函数） 2）、对任意函数的图象关于点对称的图象对应的函数为 3）、若函数满足（或）则的图象关于直线对称 （注：当时即为偶函数） 4）、对任意函数的图象关于直线对称的图象对应的函数为： 5）、若函数的图象关于直线对称且关于直线对称（），则必为周期函数，且周期为 6）、若周期为的函数关于直线对称，则的图象必关于直线：对称。 7）、若函数关于点对称，且关于直线对称（），则是周期函数，周期为 （注：点对称、轴对称、周期三者之间可互推，同学们可根据正余弦曲线猜想结论，再进行证明！） （一）选择题 1、已知是奇函数，是偶函数，如果，则（ ） A、 B、 C、 D、 解：代即可得答案B 2、若函数满足，且当时，则函数的图象与函数的图象的交点个数为 ( ) A、3 B、4 C、6 D、8 解：作出时局部图象，由偶函数性质，得答案C 3、已知，则=（ ） A、 B、 C、 D、3 解：计算得 4、已知满足，且，则 （ ） A、34 B、36 C、38 D、40 解：由得 5、函数的图象为C，而C关于直线对称的图象为，将向左平移一个单位后得图象为 ，则对应的函数为( ) A、 B、 C、 D、 解：关于对称得，向左平移1个单位得： 6、对满足，则是周期函数，最小周期为（ ） A、4 B、6 C、8 D、12 解：已知得相加得： 令得 ，选D 7、对任意函数在同一坐标系中，函数与函数的图象恒（ ） A、关于轴对称 B、关于直线对称 C、关于直线 对称 D、关于轴对称 解：关于直线对称后得： 选B 8、设是偶函数，则的对称轴是（ ） A、 B、 C、 D、 解：方法一：左移单位得，故对称轴轴（）左移后得直线 方法二：是偶函数 令则有： 对称轴为 9、若函数是定义在上的函数，它既关于直线对称，又关于直线对称，则（ ） A、不是周期函数 B、是周期为1的函数 C、是周期为2的函数 D、是周期为4的函数 解：已知得：即 是周期为4的函数 10、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值为（ ） A、3 B、4 C、5 D、7 解：由周期为3知，由奇函数知 且 又 综上所述：在有根7个：1，1.5，2，3，4，4.5，5 （注：若关于点对称，且周期为T，则） （二）填空题 11、已知是周期为2的偶函数，且在上是增函数，则的大小关系是______ 解：() 12、已知，则_________ 解：注意到为奇函数， 易求得 13、偶函数当 时，，那么当时，=________ 解：设则 14、奇函数满足：，且当时，则的值为______ 解：已知得（换得） 的周期为4 15、设，则_________ 解：先证：，故得所求为50 16、如果函数的图象沿轴向左（或右）平移个单位，得曲线C，设曲线C的方程对任意都有，则_________ 解：易知为奇函数，关于点对称，又满足 关于点对称 向右平移1得 （三）解答题 17、已知偶函数的定义域为R，且满足：，若方程在区间上只有三个根，且一根为4，求方程在中的根 解：在中令，得又为偶函数 上式化为： 令，则 是周期为4的周期函数 设在上存在另一使 则， 依题意必有：即 结合周期为4可知在中的根为：共9个 18、若函数在R上的图象关于点对称，且关于直线（）也对称，证明： 是R上的周期函数 证明：由已知得： 是R上的周期为的周期函数 19、函数满足和，当时， 求 的解析式 解：从而有：即有： 说明周期为8，设则有： 综上知当时， 设必存在，使 20、设定义在R上的函数满足且当时， （1）求时，的表达式 （2）求的值 （3）证明在R上是奇函数 解：（1）设，则 （2） 周期为4 （3）由（1）与已知得时 先证在上是奇函数 若，则 若，则 综合可知，在上为奇函数………① 再设即存在，使 由①知 在R上是奇函数 21、设函数在R上满足与，且在闭区间上，只有 （1）试判断函数的奇偶性 （2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论 解：（1）在中，令得同理可得 令得是周期为10的周期函数， 在上，只有 是非奇非偶函数 （2）先证在上方程无根，反证：设有一根使，则 但是：与上，只有矛盾 内只有 由周期性知在上只有 在区间内有 个根，又上两根可知有两根，上无