函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.doc

函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有 (ⅰ) ，则称为上的增函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递增函数。 (ⅱ) ，则称为上的减函数，特别当且仅当严格不等式成立时称为上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有： 或 ★若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有： 或 3．函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定 对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且： (1)当和具有相同的增减性时，函数、的增减性与 (或)相同，、的增减性不能确定； (2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么： ①、的增减性不能确定； ② 、为增函数，为减函数。 二、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义 如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。 2.奇偶性的几何意义 具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。 3.函数奇偶性的判断(证明)（首先注意其定义域是否对称） (1)比较与的关系； (2)（）与的关系； (3)与的关系 4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断 对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且： (1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数、也为奇函数； ②、为偶函数； (2)当和具有相异的奇偶性时，那么： ①、的奇偶性不能确定； ②、、为奇函数。 若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则. 三、函数的对称性 1.函数自对称 （1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是 （2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是 （3）关于直线对称的函数的充要条件是 2.两个函数的图象对称性 （1）与关于轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 （2）与关于轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 （3）与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 （4）与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 （5）关于点对称。 换种说法：与若满足，即它们关于点对称。 （6）与关于直线对称。 （7）与关于直线对称。 若,则函数的图象关于点对称; 3.几个常见的函数方程 （1）正比例函数,. （2）指数函数,. （3）对数函数,. （4）幂函数,. （5）余弦函数,正弦函数，， 四、函数的周期性主要结论 1．如果函数对于一切x∈R,都有 (),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数 2．如果函数 对于一切x∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=（由x=确定）对称 3. 如果函数对于一切x∈R, 都有成立, 那么函数的图像关于点对称 4.两个函数图像之间的对称性 （1）函数 与函数的图像关于直线 (即y轴)对称；函数 与函数的图像关于直线; 函数 与函数图像关于坐标原点对称。 （3）函数与函数的图像关于直线对称（由确定 （4）函数与函数的图像关于点中心对称 5.左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右移a、上移b个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右移a、上移b个单位，得到曲线的图像 6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的 7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期 8.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么 9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的定义域无界 10.关于函数的周期性的几个重要性质： （1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么 （2）函数图像关于轴对称 （3）函数图像关于中心对称 （4）函数图像关于轴对称，关于中心对称 （5）或或或, 则的周期T=2a （6），则的周期T=3a （7）则的周期T=4a； （8） ,则的周期T=5a； ，则的周期T= 6a 例1．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 例2