函数极限存在的夹逼准则(课件全).ppt

显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 3、若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 其图像是一条连续而不间断的曲线。 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 即： 设函数 于是 复合函数 又如, 且 即 例如, 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数有限次四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 有限个连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例如, 三、求连续区间、并讨论间断点。 1、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的点为间断点。 例：讨论 的连续区间及间断点 例：讨论 的连续区间及间断点 2、分段函数连续区间的求法----- 分界点为可能间断点。 例：讨论 的连续区间及间断点 例：讨论 的连续区间及间断点 根据连续定义确定待定系数 例3. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 解: 四、利用初等函数的连续性求极限 2、设函数 于是 例4. 求 解: 原式 第十节 一、最值定理 二、零点定理、介值定理 闭区间上连续函数的性质 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.闭区间上连续的函数 即: 使 或在闭区间内有间断 在该区间上必有最大(小)值 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 推论. 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 例1. 证明方程 一个根 . 证: 令 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有 通过作辅助函数F(x),再利用零点定理 辅助函数的作法： 1、把结论中的 （或 ）改写成 2、移项，使等式右边为零，令左边式子为F(x) 例2： 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 . 则 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 例3： 设 一点 三、判断函数有界的方法： 1、若 f (x) 在[a,b]上连续 f (x)在[a,b]有界 2、若 f (x) 在（a,b）上连续 f (x)在（a,b）有界 习题课 二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 2. 设函数 求 解: 一、 函数 1、 已知 , 求 解: 4. 设 求 解: 3. 设 求 及其定义域 . 由 得 解: 解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . 代入原方程得 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 5. 有无穷间断点 及可去间断点 解: 为无穷间断点, 所以 为可去间断点 , 极限存在 6. 设函数 试确定常数 a 及 b . 二、 连续与间断 7. 设 f (x) 定义在区间 上 , , 若 f (x) 在 连续, 提示: 且对任意实数 证明 f (x) 对一切 x 都连续 . 8. 求