《线性代数(魏_ 黄)习题解.doc

LSF,5/9/2007 LSF, 5/9/2007 魏福义, 黄燕苹主编?北京: 中国农业出版社, 2003. 2 (ISBN 7-109-08058-7) 习题解 (缺习题六题解) 06学年第二学期复习题: 习题一: 4, 5, 6, 7(4), 10, 11, 13, 14, 15(1), 16(3)(4), 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 习题二: 1(3), 2(2), 3(3), 4, 5(3), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 习题三: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 习题四: 1(2)(3), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10(1)(2), 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 习题五: 1(2), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 习题七:自己挑选一些题, 写出matlab语句. 7.15必做. 这是题文 这是题解 这是注释 习题一 1.1 设 , 求及. 1.2 计算下列乘积 (1) (2) (3) (4) (5) (1)(2)(3) (4) (5) 1.3 设,, 问下列各式是否成立? (1) (2) (3) (4) 1.4讨论下列命题是否正确: (1)若, 则; (2)若, 则或; (3)若且, 则. (1)不对. 反例:,但. (2)不对. 反例: 设, 则且, 但. (3)不对. 反例: 设,,, 则有且, 但.. 1.5计算: (1), (2), (3) (1) (2) (3) 1.6设方阵满足矩阵方程, 证明及都可逆, 并求及. 由得, 故可逆, 且. 由也可得或, 故可逆, 且. 1.7(4)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) 可知 . (5) (6) 1.10设, 求. 解. 求得,于是. 1.11设, 其中,求. 1.12 设, (1) 证明; (2) 设，证明 (1) (2) 1.13 计算下列行列式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1.14 证明下列等式 (1) =(a－b)3 (2) = (1－x2) (3) = [x+(n－1)a](x－a) n-1 (1) (2) 证法二 (3)= 1.15 用克拉默法则解下列方程组: (1) (2) (1) 计算得 因为系数行列式, 所以方程组有唯一解 . (2) 计算得 因为系数行列式, 所以方程组有唯一解 . 1.16 求下列方阵的逆阵 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (1)套用公式, 得. (2)套用上述公式, 得. (3) 得 . (4) 得 . 1.17．解下列矩阵方程 (1) (2) (3) (1) (2) (3) 1.18 设是阶矩阵, 为其转置伴随矩阵, 证明: (1)若, 则 (2) . (1)设,则. 如果的第一行元素全为零, 则, 于是. 假设的第一行元素不全为零, 例如, 作如下行初等变换, 得 . 现, 因此. (2)一般地, , 但. 于是. 从而, 若, 立刻得到. 而若, 由(1)知仍成立. 1.19 设, 利用分块矩阵的乘法, 计算. 1.20 若, 证明: . . 1.21 (选择题) 设A, B为n阶方阵, 则成立. (A) (B) (C) (D) (A)的反例: , 除非. (B)的反例: 若, 则. (D)的反例: . (C)是成立的, 因为. 1.22设阶方阵的转置伴随矩阵为且, 求. 或 1.23 设为阶方阵,, 求证可逆, 并写出逆矩阵的表达式. ?可逆, 且. 1.24设分块阵,其中可逆,求. 解.验算.OK 1.25 设A为m阶方阵, B为n阶方阵, detA = a, detB = b, C =, 求detC. 利用拉普拉斯定理: (定理1.8)在n阶行列式中任取k行(列), 则由这k行(列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和, 等于行列式的值. 在中取所在的行, 所得的阶子式只有一个不等于零, 就是. 而的余子式是, 代数余子式是, 其中注意到是偶数. 于是. 1.26设,求. 注:矩阵或不要用行列式符号: 利用第24题的结论 1.27 计算下列n阶行列式 (1) (2) (3) (1)同第14(3)题. (2)