分形-大自然的几何学.ppt

--------- 四川文理学院 计算机科学系 王安志 在过去，一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人； 在将来，一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被 认为是科学上的文化人。 ---著名理论物理学家约翰·惠勒(J.Wheeler) 分形几何产生的背景 分形几何产生的背景 但在自然界中，却存在很多“不规则”的、“不可名状的”、“病态的”复杂的几何对象，如山脉、云烟、波浪、树木、闪电，以及星团、短痕、浸润、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层…… 这些对象如何描述和研究？ 如何用计算机来生成？ 用经典几何图形来描述？Never！人们发现，传统的数学模型苍白无力！因为它们不再具有我们所早已熟知的连续、光滑可微这一基本性质了。 分形几何的历史 萌芽期：十九世纪末，二十世纪初. Cantor集，Weierstrass函数等的提出. 形成期：二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英国的海岸线有多长？ 2. 1975年，《分形对象：形，机遇和维数》. 分形(fractal)这个词源于这本书. 它从拉丁语“fractus”意思是“不规则的或者断裂的” 派生来的. 分形几何的历史 发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》. 德国数学家维尔斯特拉斯这位分析学大师在1872年发现了处处连续但处处不可微分的函数： 英国的海岸线有多长？？？ 英国的海岸线有多长？？？ 动力系统（迭代）的问题 Julia集 Julia集 Mandelbrot集 分形的定义和特征 F具有精细的结构。分形图不管被放大多少倍，都能看到细节具有与整体相似的结构，这一特征非常接近于自然界中大多数的对象。 F是不规则的，其整体与局部都不能用传统几何学来描述； F通常具有自相似形式(统计意义上的自相似)； 自仿射性,即局部到整体在不同方向上存在不等比例变换； 分数维。描述自相似性的一个重要参数，为认识世界中的复杂形态提供了一个新的尺度，在复杂性科学的研究过程中，分维是测量这些形态复杂度的一种度量，是人们对复杂性做定量分析的工具。 在大多数情形下，F可通过简单的迭代过程产生。 分形几何的研究对象 —自相似集 Cantor集 Sierpinski垫片 Koch曲线 海岸线 分形图像压缩 分形山 分形植物模拟 。。。。。。 Cantor集C 1883年，康托尔(G.F.P.Cantor,1845-1918)构造了三分集，也叫康托尔非连续统(Cantor di scontinuum)。 1890年，皮亚诺(G.Peano,1858-1932)提出充满空间的曲线——皮亚诺曲线。 1891年，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)在《数学年刊》(Mathematische Annalin )上发表短文，提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。 1904年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch,1870-1924)构造出柯赫雪花曲线。 1915-1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski,1882-1969)构造了谢氏曲线、海绵、墓垛。谢氏地毯是平面万有曲线(plane universal curve),谢氏海绵是空间万有曲线。 1918-1920年左右，法国数学家朱丽亚(G.Julia,1893-1978)、法图(P.J.L.Fatou, 1878-1929 )研究复迭代。朱丽亚于1918年(当时他25岁)在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了长达199页的杰作，一举成名。 1924年11月20日Mandelbrot生于波兰。 Koch曲线 雪花曲线 —三段Koch曲线连在一起构成随机Koch曲线 —对海岸线的模拟 Sierpinsk垫片的生成过程 L系统 L系统是一个基于字符串的并行重写系统，其核心概念就是重写。 “重写”的基本思想