分形讲座20051.ppt

分形几何 参考书 ［1］肯尼思．发尔科内　　分形几何：数学基础及其应用　　东北大学出版社　2004.1 ［2］李水根　分形　高等教育出版社　2004.01 ［3］曾文曲　分形理论与分形的计算机模拟　东北大学出版社　　2001.7 ［4］沙震　　分形与拟合　浙江大学出版社　2005.3 1.什么是分形 经典几何－－研究的是“规则的”图形：光滑的曲线、曲面，或是光滑曲面围成的立体图形，等等。 经典几何中，曲线是可求长的、曲面有面积、立体图形有体积。 　 1.分形几何的提出 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。 2.研究对象 Mandelbrot提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？ 当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量海岸线的长度时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大 如果尺子无限缩小，测得的长度也就无限增大。 结论是：海岸线的长度是多少：决定于尺子的长短。 海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零。 3. 分形的例子 Koch 曲线 Koch 曲线（续） Koch曲线 在经典数学中是一条“奇异”曲线，它处处连续、处处不可微。 同海岸线一样：长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。 另外，有一个特点：将其中任何一部分放大，与整体是完全 相似的，似乎是一个什么东西的无数次的自我复制。 Sierpinski 三角形（1） Sierpinski 三角形（2） Sierpinski 三角形（3） Julia 集 Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C 令复数 C 为一定值，将 Z 平面上任意一点代入，则Z 平面上部分区域收敛，部分区域发散， 而发散与收敛区域的边界即称为Julia集。 根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合 Julia集 Julia集 Julia集 Mandelbrot集 在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的： Zn+1=Zn^2+C。 其中，Z和c都是复数，由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy Mandelbrot集 展开得： Xn+1 = Xn 2 -Yn2+Cx （实部） Yn+1 = 2*XnYn+Cy （虚部） Mandelbrot集 在迭代过程中，Z的初值定为0，而C选择一个不为0的数,使C在复平面的某个区域内有规律地变化，对于二次函数fc(Z)=Z^2+C的迭代，定义M集为： M={c∈C｜fck(0) → ∞ (k→∞)}。 Mandelbrot集 Mandelbrot集 Mandelbrot集 Mandelbrot集的边界 其他形式的分形 自然界中的分形－山 自然界中的分形－云 自然界中的分形－蕨类植物叶子 自然界中的分形－河流分布图 自然界中的分形 股票价格曲线 岩石裂缝 金属损伤裂缝 道路分布 神经末梢的分布 ? ??????? 4.分形的定义 曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot），对那些不规则的几何图形提 出了一个全新的概念：分形（ fractal ）　fractal一词是由Mandelbrot自创的，来自于描述碎石的拉丁文fractus 分形的定义（续） 那么究竟什么是分形呢？它们所遵循的“不规则”的规则是什么呢？这里采用的是一种与传统不同的方法。 原则上说：分形是一些简单空间的复杂点集，这些集合具有某些特殊性质。首先，它是所在空间的紧子集（一般是有界闭集），并且具有下面列出的典型几何性质： 分形的定义（续） 分形看作具有下列性质的集合F： １）F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内着复杂的结构。 ２）F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 分形的定义（续） 3）F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。 如何来研究分形？ Mandelbrot提