分析10偏微方程数值解法(免费阅读).ppt

第章 第十章 偏微分方程数值解法 第十章目录 补充知识 补充知识 （续1） 补充知识 （续2） §1 差分方法的基本概念 （2）热传导方程（抛物型） 抛物型方程（续） （3） 波动方程（双曲型） 差分方法的基本概念 差分方法的基本概念（续1） 差分方法的基本概念（续2） 差分方法的基本概念（续3） 二阶线性微分方程第一边值问题 二阶线性微分方程第一边值问题（续1） 二阶线性微分方程第一边值问题（续2） 二阶线性微分方程第一边值问题（续3） 二阶线性微分方程边值问题例题 二阶线性微分方程边值问题例题（续） 差分方法求解偏微分方程简例 差分方法求解偏微分方程简例（续1） 差分方法求解偏微分方程简例（续2） 差分方法求解偏微分方程简例（续3） 差分方法求解偏微分方程简例（续4） 差分方法求解偏微分方程简例（续5） §2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法 Poisson方程差分格式的建立 Poisson方程差分格式的建立（续1） Poisson方程差分格式的建立（续2） Poisson方程边界条件的处理 Poisson方程边界条件的处理（续1） Poisson方程边界条件的处理（续2） 例 1 例 1(续1) 例 1（续2） 五 点 矩 形 格 式 五 点 矩 形 格 式（续） 2.2 差分格式解的存在唯一性 定理10.2 (极值原理) 定理10.2证明 第十章 结 束 边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。 （1）直接转移 用最接近非正则内点的边界点上的u值作为该点上u值的 近似，这就是边界条件的直接转移。如图10-2，点R(k , j) 为非正则内点，其最接近的边界点为Q点，则有 （10-11） 将式（10-11）代入式（10-10），方程个数即与未 知数个数相等。式（10-11）可以看作是用零次插 值得到非正则内点处u的近似值，容易求出，其截 断误差为O(h+ τ) 。 （2）线性插值 这种方案是通过用同一条网格线上与点P相邻的边界 点与内点作线性插值得到非正则内点P(k,j)处u值的近似。 如图10-2，由点R与T的线性插值确定u(p)的近似值uk,j， 得: （10-12） 其中 ，其截断误差为 。 将式（10-12）与（10-10）联立，得到方程个数与未知 数个数相等的方程组，求解此方程组可得到Poisson方程 第一边值问题（10-6）的数值解。 （10-13） 由式（10-10）所给出的差分格式称为五点菱形格式，它所涉及的节点如图10-3所示。 简记为: （10-14） j k 图10-3 ? 实际计算时经常取h= τ ， 此时五点菱形格式可化为: ? 其中: 用五点菱形格式 求解Laplace方程 第一边值问题 其中 取 。 [解] 如图10-4所示， 网格中有四个内点， 均为正则内点。由五 点菱形格式（10-13） ，得方程组: (0.3) (1.3) (2.3) (3.3) (3.2) (3.1) (2.1) (1.1) (0.1) (0.2) (1.2) (2.2) (0.0) (1.0) (2.0) (3.0) O y ? 图10-4 代入边界条件： 其解为 得 （10-17） 当 时，利用点 构造的差分格式： （10-15） 称为五点矩形格式，简记为 ? （10-16） 其截断误差为： ? 其中： 五点矩形格式所涉及 的节点如图10-5所示: 如果用更多的点构造差分格式，其截断误差的阶数可以提高，如利用菱形格式及矩形格式所涉及的所有节点构造出的九点格式就是具有四阶精度的差分格式。有兴趣的读者可参看有关资料。 图10-5 五点菱形格式与矩形格式的截断误差均为 : j K 称它们具有二阶精度。 为讨论方便起见，下面仅以矩形域上Poisson方程第一边值问题的五点菱形格式为例进行讨论。 取 方向的步长 分别等分区间 , 则此时内点均为正则内点，即 。五点菱形格式(也称为差分方程边值问题）为: 设 (10-18) 为证明问题（10-18）的解存在唯一，需先证明下述结论。