刚体运动.doc

第四章 刚体的转动 一. 刚体模型 刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体 ---- 物体内任意两点的距离不变； 二. 刚体的运动 平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变； 特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点； 刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动； 转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动； 定轴转动：转轴固定不动的转动； 刚体的一般运动 = 平动 + 转动； 三. 角速度矢量 角速度矢量方向由右手螺旋法则确定 ----角速度方向在转轴上； 以转轴上任一点O为参考点， 或 或 §4-2 转动动能 转动惯量 一. 转动动能 1.在刚体上取一质元Pi： 动能： 2.对刚体上所有质点的动能求和： 定义：---- 对z轴的转动惯量； 则刚体的转动动能 二. 转动惯量 1.对分立的质点系： 2.对质量连续分布的刚体： 其中 (1)为线分布， 为线密度； (2)为面分布， 为面密度； (3)为体分布， 为体密度； 3.转动惯量的物理意义：Jz表示刚体转动时惯性的大小； 讨论：转动惯量Jz的大小决定于： a.刚体的质量：同形状的刚体，ρ越大，Jz就越大； b.质量的分布：质量相同，dm分布在 R越大的地方，则Jz 越大； c.刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的Jz ； 常见刚体的转动惯量： 1. 薄圆盘 2. 细棒 3. 细棒 4. 球体 三. 平行轴定理 以质心C为坐标原点， 设对Cz轴的转动惯量为Jc， MN//Cz 对MN 轴的转动惯量为： --- 平行轴定理； 四. 薄板的垂直轴定理 设刚性薄板平面为 xOy面， ---- 垂直轴定理； [例1]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量。 解：圆环的质量密度为 在环上取质量元dm，dm距转轴r ， 另解： 对过环心并与环垂直的转轴的转动惯量， 根据对称性有 由垂直轴定理 [例2]长l、质量m的均匀细棒放在xoy平面内，棒与x轴成300角，其中心在O点。求它对x、y和z轴的转动惯量。 解：细棒质量密度为 在棒上取长为dl的质量元 [例3]一长为a、宽为b的匀质矩形薄平板，质量为m，试求:(1)对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量; (2)对与平板一条长边重合的轴的转动惯量。 解：垂直向上为y轴板的质量面密度为 在板上取长为a、宽为dy的小面元， (2) 转轴与长边重合， 或由平行轴定理， §4-3 力矩、刚体定轴转动定律 一. 力矩 对O 的力矩， 在定轴转动中，只有起作用， 对转轴的力矩 大小 方向 沿z轴----与转轴平行的力矩对刚体的定轴转动起作用； 二. 定轴转动定律 对Pi： 的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零； 因为内力矩之和为零 ---- 外力对转轴z的力矩； ---- 刚体的定轴转动定律； [例4]在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J；求滑轮的角加速度β及各绳中的张力T1、T2。 解：设m1向下运动， 切向： 两边同乘以ri 对整个刚体求和， 联立（1）—（5）解得： 讨论： a.当时，物体运动方向与所设相同，反之则相反； b.当时，，即滑轮静止或匀速转动； c.当时，则为定滑轮的情况。 [例5]物体A、B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为M，半径为R的匀质定滑轮C。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，绳与滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度及绳中的张力T1和T2? 解：建立如图坐标系， 解得： §4-4 角动量及角动量守恒 一. 刚体的角动量 在刚体上取质元Pi，它相对于O的角动量， 大小： 所以在z轴上的分量为： 定轴转动刚体的总角动量在转轴z 上的分量为 讨论： 1.与质点动量相比可看出角动量与之对应； 2.动量与角动量是两个单位不同的物理量，不可混用。 二. 刚体定轴转动的角动量定理 由刚体定轴转动的转动定律 ---- 刚体定轴转动的角动量定理； ----定轴转动角动量定理的积分形式； 对J 可变化的质点系或非刚体,定轴转动时有 三. 刚体定轴转动角动量守恒 当，则= 常量 ---- 刚体定轴转动的角动量守恒定律； [例6] 质量为M、半径为R的水平放置、圆盘转台上，两质量均为m的电动汽车模型可分别沿半径为R和r (R＞r)