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刚性方程组 1211101 1121100210 应用物理 王允磊 4.1什么是刚性常微分方程组 设矩阵 有互异特征值 为对应的特征向量，则方程组(4.1.1)的通解为 其中Qκ为常数， 为（4.1.1）的特解（向量）.当我们 限于考虑稳定的微分方程组时，必有 , κ=1,2,...,m,则 此时Ψ(t)称为（4.1.1）式的稳态解. 刚性微分方程组的定义 定义：微分方程组 成为刚性的（stiff），若 (1) (2) 其中 为矩阵 的特征值, 为f在该处的Jacobi行列式. 比值 成为刚性比. “我们说一个常微分方程组是刚性的，如果其数值解需要（也许在解区间的一个部分）显著地降低步长来消除不稳定性。” 一个例子 ,其中Λ= , 求得其精确解是 前者要比后者衰减快千倍以上.因此即使对于小得t0, x1 的影响几乎为零，以至于 y(t)≈e-t/10x2 然而欧拉解则恰恰相反： 求得 在 时， ，与真解的渐近行为恰好相反. 4.2线性稳定域和A稳定域 线性稳定域 :所有 的一个集合，使得线性方程数值解随n增大而趋于0. 由欧拉法得到的 的方程解序列为： 因此， 趋于0当且仅当 ,由此我们得出其线性稳定域为： 简单的推广以及A稳定的定义 将上述的单变量线性微分方程推广到线性常微分方程组. 这时有: 这意味着所有乘积 都落在D内. 稳定的定义：我们说一个方法是A稳定的，如果： 龙格—库塔法的A稳定性(一) 将龙格—库塔法应用于线性方程y=λy. 这个线性代数方程组的精确解为: 将结果代入龙格—库塔法的递推式中，得: 设 ,可以证明r(z)是一个既约类型的有理多项式. 龙格—库塔法的A稳定性(二)——显式 引理1：对每一个龙格—库塔法(4.3.3),存在r∈Pν/ν,使得 此外，如果龙格—库塔法是显式的，那么 .其中 表示有理函数， 表示多项式. 引理2：假设应用一个数值方法于线性方程 ,产生一个几何解序列 其中r是一任意函数, 那么 显式龙格—库塔法的r(z),结合引理1和2可证得如下命题: 推论：显式的龙格—库塔法不可能是A稳定的. 龙格—库塔法的A稳定性(三)——隐式 隐式龙格—库塔法的A矩阵并非是下三角矩阵,所以不能像显式那样证明其不是A稳定的. 相反，可以举出一些隐式方法,可以证明它们是A稳定的.例如下列两种： 如何判断上述例子的A稳定性？ 在上述的例子中,r(z)= 为了验证其A稳定性,用极坐标表示z=ρeiθ,z∈C,其中ρ0,为了保证Re(z)0,设|θ+π|(1/2)π,然后计算所有z∈C-都满足|r(z)|1,这等价于： 重新整理各项，条件变成： 这对所有z∈C-都是成立的，因为对所有的z,有cosθ0,因此,这两种方法都是A稳定的. 这种判断的方法要求我们验证所有z∈C-都符合A稳定的条件.尽管这种方法可以用来进行判断，但是对于对于许多别的例子，算起来并不是一件容易的事情.例如用这种方式来分析3.4节中“Gauss-Legendre方法”时，对大ν值的计算会变得非常费力. 为了更加容易轻松地判断A稳定性，我们寄希望于寻找这样一种方法，这种方法只需要判断一些在区域内一部分点的属性就能够断定它的A稳定性. 下面的引理和定理将给出一些捷径. 判断A稳定性地捷径 引理1：令r是一任意有理函数且不为常数，那么对所有z∈C-,|r(z)