创新设计2011第三章数列314.ppt

1．若数列{an}成等差数列，则数列{Aan＋B}也成等差数列． 2．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q (m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 3．若数列{an}成等差数列，且bn＝a2n－1，则数列{bn}也成等差数列． 提示：(1)若数列{an}、{bn}成等比数列，则数列{Aan}，{a}， {an·bn}(A≠0)也成等比数列． (2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q (m、n、p、q∈N*)，则aman＝apaq. (3)若数列{an}成等比数列，且bn＝a2n－1，则数列{bn}也成等比数列． (4)若等比数列{an}的前n项和为Sn(等比数列的公比q≠－1)，则数列Sm, S2m－ Sm, S3m－S2m…构成等比数列． 1．(2009·海南)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1 ＝38，则m＝(　　) A．38 B．20 C．10 D．9 解析：由已知条件 由①知am＝2，或am＝0(舍去)．将am＝2代入②解得m＝10. 答案：C 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．42 解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列．∴S2＋(S6－S4)＝2(S4－S2)， S6＝3(S4 －S2)＝24. 答案：C 3．有2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) 解析：解法一：设原数列为a1，a2，a3，…，a2n＋1，公差为d，则a1，a3，a5，…，a2n＋1和a2，a4，a6，…，a2n分别也成等差数列，公差都为2d， ∴S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝(n＋1)a1＋ ·2d＝(n＋1)(a1＋nd)， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝na2＋ 2d＝n(a1＋d)＋n(n－1)d＝n(a1＋nd)．∴ .应选B项． 解法二：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝ ，S偶＝a2＋a4＋… ＋a2n＝ ，又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴ ，选B项． 解法三：由于本题的结果对任意的等差数列都成立，因此可采用特殊数列 进行验证排除，取满足条件的特殊数列1,2,3则：S奇＝1＋3＝4，S偶＝2， ∴ ＝2，验证知选B项． 答案：B 4．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝ (n∈N*)也为等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn＞0(n∈N*)，则有dn＝____________(n∈N*)也是等比数列． 答案： 　 1. 若三个数a，A，b成等差?2A＝a＋b； 2．若三个数a，G，b成等比?G2＝ab. 【例1】设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则 q＝________. 解析：由{Sn}是等差数列知：2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2， 即2(Sn＋an＋1)＝Sn＋Sn＋an＋1＋an＋2， 则an＋1＝an＋2，因此q＝ ＝1. 答案：1 变式1. 在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn.若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　) A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1 解析：∵数列{an}、{an＋1}为等比数列，且a1＝2， ∴a＝2a3，(a2＋1)2＝3(a3＋1)，∴a2＝2，q＝1.∴Sn＝2n. 答案：C 虽然等差(比)数列的有关计算和证明，都可围绕其首项和公差(比)进行，但是熟练地掌握等差(比)数列的性质，则可以大幅度地减少运算量，以达到事半功倍的作用．比如在等差数列中S2n－1＝(2n－1)an；在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n(q≠1)时，也构成等比数列等． 【例2】(1)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和的比是(7n＋2)∶(n＋3)， 求这两个数列中第7项的比a7∶b7. (2)已