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4 4 数学课堂教学中—数学本质的揭示 华东师范大学数学系 张奠宙 2005. 7. 22 福州 ！ 教育数学是数学的教育形态： 数学的原始形态： 繁复曲折的数学思考。 书面发表的数学是数学的学术形态： 简洁冰冷的形式化美丽。 教师的责任：把数学的学术形态化为教育形态： 1 高效率地进行火热的思考， 2 揭示数学本质； 3 使学生容易接受。 数学教育中的“去数学化”倾向 香港科技大学教授项武义认为， 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。 “去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。 结实数学本质， 才能提高效率 教育不等于认识论。 数学教学是要在很短的时间里， 让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值 一万年以后怎么办？ 老是探究， 自己发现，还有效率可谈吗？ 没有效率的教学理论是走不远的！ 第一部分 关于数学本质的把握与呈现 数学教学成功的标志 主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性）， 包括： 数学本质的理解； 数学知识的掌握； 数学能力的形成。 教育方式是手段（现在的标准： 学生活跃？合作？用计算机？ 探究？……游离于数学本身） 奇谈怪论： 结果不是最重要的， 重要的在于参与； 知识不是最重要的， 重要的在于过程。 数学知识的储备：一个比喻 一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 没有水可以打井取水 教师的作用：鱼， 渔 数学本质的把握需要数学修养 “数学本质”的内涵： 1。 数学知识的内在联系； 2。 数学规律的形成过程； 3。 数学思想方法的提炼； 4。 数学理性精神的体验。 形成数学的教育形态： “返朴归真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情” 数学本质被两种活动所掩盖： 1。过度的形式化。 “淡化形式，注重实质”。 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。 例一。 乘法交换律： ab =ba 某杂志刊登的特优教案这样设计： 学生交换位置 （没有说人数不变）； 兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青草。 （没有谈不变性） 用柄很长的勺子喝水， 自己喝不到， 互相帮助， 交换勺子喝水。（只有交换， 没有不变的规律）。 交换律的数学本质： 交换后乘积不变。 例二。三角形内角和问题 姜伯驹院士在政协的提案指出 “三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？” 不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。 李大潜院士：“老是量， 就倒退到尼罗河时代去了” 三角形内角和定理的价值 没有实际价值， 超越日常经验。 当初古希腊学者不是“量”出来的。 价值在于理性思维， 从公理出发的演绎推理。 建议：要么作公理， 要么进行推理。 例如：所有矩形的四个角都是直角 ?直角三角形内角和为180度 ? 任意三角形内角和为180度 例三。正弦定理的教学 （一个忽视数学实质的设计） 请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？ （学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）  正弦定理是量出来的吗？ 分组测量， 汇报结果， 这是败笔。 数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。 正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一下立刻推得。 正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”， 平面几何“大边对大角”的数量化。 三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。 例四。 Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握数学本质） 比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？ 黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。 活动设计： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 （量得有价值， 有意义） 例五。坐标活动（长宁） 将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴； 坐标对应学生， 请学生自己看坐标； 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等