初一奥数“设而不求”的未知数.doc

第九讲 “设而不求”的未知数 　　让我们先看一道简单的数学题． 　　三角形的面积． 　　解 设这个三角形的斜边长度为c，因为斜边上的中线长是1，所以斜边长c=2．再设两条直角边的长度是a，b，面积是S，那么 　　　 　　　 a2+b2+2ab=6． ④ 　　把②，③代入④式得 4+4S=6， 　　 　　在这个题目中，只要求出未知数S的值，而我们却设了三个未知数：a，b，S，并且在解题过程中，我们也根本没求a，b的值．但是由于增设了a，b后，给我们利用等量关系列方程及方程组求S的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如a，b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数． 　　所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用． 　　例2若 　　求x+y+z的值． 　　分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 　　解 令 　　则有 x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)， 　　所以 x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0， 　　所以 x+y+Z=0． 　　说明 本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数． 　　例3 已知p，q，r都是5的倍数，r＞q＞p，且r=p+10，试求 　　解 不妨设p=5k1，q=5k2，r=5k3，由题意可知，k1，k2，k3都是整数．因为r＞q＞p，所以k3＞k2＞k1．又因为 r=p+10， 　　所以 5k3=5k1+10， k3=k1+2， ① 　　所以 k1+2＞k2＞k1， 　　所以 k2=k1+1． ② 　　将①，②代入所求的代数式得 　　说明 本题中k1，k2，k3均是“设而不求”的未知数． 　　　 　　 a＞1，并且设 　　分子：n-13=ak1，① 　　分母：5n+6=ak2．② 　　其中k1，k2为自然数． 　　由①得n=13+ak1，将之代入②得 5(13+ak1)+6=ak2， 　　即 　　　　　　　　　　　　　　　71+5ak1=ak2， 　　所以 　　　　　　　　　　　　　　a(k2-5k1)=71． 　　由于71是质数，且a＞1，所以a＝71，所以 n=k1·71+13． 　　故n最小为84． 　　例5甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？ 　　解 设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有 　　　　　　　 　　由上述四式可知 　　　　　　　 　　比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得 所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18． 　　说明 此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解． 　　例6 设有n个数x1，x2，…，xn，它们的值只能是0，1，2三个数中的一个，如果记 　　试用f1和f2表示 　　解 设在x1，x2，…，xn这几个数中取值为0的有s个，取值为1的有t个，取值为2的有r个，则s+t+r=n，0≤t≤n，0≤s≤n，0≤r≤n，由此得 f1=t+2r，f2=t+4r． 　　所以 　 =(2k-1)f2-(2k-1-2)f1． 　　说明 本题借助于s，t，r找到了fk与f1，f2的关系表达式． 　　　 　　 整除．根据一个数能被9整除的特征有 6+2+α+β+4+2+7=9m(m为自然数)， 　　即　　　　　　　　　　　　 α+β+3=9m1(m1为自然数)． 　　又由于　　　　0≤α≤9，0≤β≤9，则有 3≤α+β+3≤21， 　　从而有 α+β=6或α+β=15． ① 　　同理，按照一个数被11整除的特征有 α-β=-2或α-β=9． ② 　　①与②相结合，并考虑0≤α≤9，0≤β≤9，故只有α=2，β=4． 　　所以原自然数为 6 224 427． 　　例8 我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？ 　　 　　　 　　　=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a) 　　　=99×a-99×c 　　　=100×a-100×c-100+90+10-a+c 　　　=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)． 　　因k是三位数，所以 2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7． 　　所以 　　　　　　　　　　　　　2≤10-a+c≤8． 　　差对调后为 k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)， 　　所以 k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)