初一奥数第10讲 整式的乘法与除法.doc

第十讲 整式的乘法与除法 　　中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法． 　　整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 　　正整数指数幂的运算法则： 　　(1)； (2) ； 　　(3) ； (4) (a≠0，m＞n)； 　 　　常用的乘法公式： 　　(1)(a+b)(a+b)=a2-b2； 　　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2； 　 　　(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；　　 　　(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 　　例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数 ． 　　解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有 (1-x)3=1-3x+3x2-x3， 　　所以x2项的系数为3． 　　说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利． 　　 　　(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2． 　　解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1) 　　　　 　=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1) 　　　　　 =13x-7=9-7=2． 　　说明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8． 　　例3 化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数． 　　解 原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1 　　　　　　　+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n 　　　　　 =1+(-x)n． 　　说明 本例可推广为一个一般的形式： (a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn． 　　例4 计算 　　(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)； 　　(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)． 　　分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合． 　　原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2 　　 　　=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2． 　　(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但 x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2 　　与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了． 　　原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3 　　　　=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3 　　　　=x6-12x4y2+48x2y4-64y6． 例5 设x，y，z为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2， 　　 　　解 先将已知条件化简： 左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz， 右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz． 　　所以已知条件变形为 2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0， 　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0． 　　因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以 　　 　　说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处． 　　我们把形如 anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 　　(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式． 　　多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)