初一数学01有理数的巧算.ppt

初一 01 初一数学 浙江 新昌信奥培训 QQ:xcxddn@ 第一讲 有理数的巧算 数的运算和表达式 所有内容来自网路，如果有损你的版权，请告诉我,我立即改正。谢谢！ 要求 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求： 在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算． 要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 注意: 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算 (2) 注意: 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算 例2 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 　　分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 211×555+445×789+555×789+211×445 解 原式=(211×555+211×445) +(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1000000 说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n 分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 　　下面需对n的奇偶性进行讨论： 　　当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 s=-n/2 　　当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有 例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然: n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996) -1997+1998=1． 　　所以，所求最小非负数是1． 　　说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化． 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100 -2×100+2×100 - 2×2 =100×100 + (-2×100+2×100) - 2×2 =1002-22 　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2 -ab+ab -b2=a2 - b2 于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 ① 　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例5 计算 3001×2999的值 解 3001×2999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8999999 例6 计算 103×97×10009的值 解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92 例7 计算 分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n