初一数学竞赛讲座(三)数字数位及数谜问题.doc

初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题 一、知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n位的自然数都可以表示成： 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i≤9，a n≠0. 对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为N= 2、正整数指数幂的末两位数字 (1)??? 设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则mn的末位数字就是an的末位数字。 (2)??? 设p、q都是正整数，m是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 二、例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。 分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a(103+b(102+c(10+d，依题意得： (a(103+b(102+c(10+d)+( d(103+c(102+b(10+a)=9988 ∴ (a+d) (103+(b+c) (102+(b+c) (10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d，d+2=b，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。 ? 例2 一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a、b、c(a、b、c不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：，不妨设其中的最大数为，则最小数为。由“新生数”的定义，得 N= 由上式知N为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990。这9个数中，只有954-459=495符合条件。 故495是唯一的三位“新生数” 评注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。 ? 例3 从1到1999，其中有多少个整数，它的数字和被4整除？ 将每个数都看成四位数(不是四位的，在左面补0)，0000至1999共2000个数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，十位数字从0到9中选择，各有10种。 在千、百、十位数字选定后，个位数字在2到9中选择，要使数字和被4整除，这时有两种可能：设千、百、十位数字和为a，在2，3，4，5中恰好有一个数b，使a+b被4整除(a+2、a+3、a+4、a+5除以4，余数互不相同，其中恰好有一个余数是0，即相应的数被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一个数c(=b+4)，使a+c被4整除。因而数字和被4整除的有：2(10(10(2=400个 再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在2到9中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2(2(10(2=80个。 在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中，百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2(2(2(2=16个。 最后，千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数，数字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。 于是1到1999中共有400+80+16+1=497个数，数字和被4整除。 ? 例4 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数并且能被27整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。 分析：把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为：，其能被27整除。 只需证明从其相邻一位读起的数：也能被27整除即可。 证明：设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为： 依题意得：=能被27整除。 为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数：也能被27整除即可。 = ∴10?- =1