力学中的数学方法-积分变换-1-2013修改.ppt

在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t) 打交道. 例如: 人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近. * * 积分变换 t §3.1傅里叶(Fourier)级数展开与傅里叶变换 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 1. 连续或只有有限个第一类间断点 2. 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上 一. 傅里叶级数展开 引进复数形式： f(x)傅氏积分公式 二、傅氏积分定理 若f(t)在(-?, +?)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;  即：除去有限个间断点处处连续； 分段单调，单调区间个数有限。2, f(t)在无限区间(-?, +?)上绝对可积, 则有 三、 Fourier变换 1. Fourier变换的定义 Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的一种充分条件. 注意上述关系： 2. Fourier变换与逆变换的性质 下面介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 不再重述这些条件. 1）线性性质: 2） 位移性质: 3） 相似性： 4）微分性： 如果f(t)在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 解释： 5）积分性质 性质小结: 若 3. Fourier余弦变换和正弦变换 正弦变换及反变换 余弦变换及反变换 当f(t)是偶函数 当f(t)是奇函数 运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一. 4. 利用Fourier变换求解微分方程 例： 求解微分积分方程 其中??t+?, a,b,c均为常数 解：根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记 在方程两边取傅氏变换, 可得