力学单位制 (二)阶段推导公式.doc

阶段推导公式 一、量纲的应用——利用单位推导公式 分别代表长度、时间、质量的量纲，即 、、其单位分别为. ①小角度单摆的运动周期可能与摆长、摆球质量、重力加速度有关, 设，由于 、、，故而，得、、解得、、，即. ②自由落体的速度可能与高度、重力加速度有关, 设(constant,常数，量纲为一)，由于、、，故而，得①②，联立①②，解得、即. ③声音的速度与压强与密度 (温度)有关，则压强: 的单位为 =，相当于；的单位为，相当于, 密度的单位为 ,相当于,设（是系数，单位为1），则 等效于 ①②③ 联立①②③，解得、，即. 二、微元法或微积分法推导公式 ①流量公式，其的单位为，表示单位时间内流过流体的体积。 微元法推导如下：,, . 水柱流下时流量不变，，即“长 消”，如倒油或倒水时水柱越来越细，喷灌浇地与喷泉相反，可解释. ②山的极限高度. 熔化热为，根据分子运动论，最上面有微元质量的石头产生向下运动（振动），其减少的重力势能（等于动能）恰好能使相应下方的石头熔化，，则极限高度为. 三、其它常用公式推导 ㈠理想气体的克拉伯龙方程为: ⑴变形后得，导出，表示密度与相对分子量成正比。相同条件下，密度与摩尔质量（即分子量）成正比，代入数值，即可得标准状况下的密度， , ，若已知氢气的密度，把它当作标准或参考，则其它气体的密度是氢气的密度的分子量的倍数； ⑵变形后得,气体摩尔体积(标准状况下) ; ⑶变形后得分子数密度, ,,得,大量分子的平均动能,是的单值函数. ⑷已知密度与摩尔质量，求分子的体积. ①，②，③，联立①②③，得单个分子的体积;设有摩尔的分子，则理想气体分子的体积，与的原子直径相比，体积上相差倍，可见很空旷. ㈡由欧姆定律与焦耳定律可得下列结论： ①对于纯电阻用电器(即消耗的电能全部用来发热,如电热水器、孵化器、恒温器)，则电功（电流做的功） 满足（纯电阻）； ②而对于非纯电阻用电器(如电机)消耗的电能大部分用来输出机械功，小部分电阻丝发热,如电热水器、孵化器、恒温器)，由能量守恒定律得，其中，则由间接求解，当然也可通过电流做功的表现——物体机械能的变化，动能定理（或功能原理）直接求解，如增加的机械能 总结成结构图 ③举例：一小风扇，电压较低为，电流为，此时不转；电压为，电流为，此时正常工作，求正常工作时的效率。 设线圈的电阻为，不转时（纯电阻用电器）由欧姆定律得 ，转动时（非纯电阻用电器）总功率 ，发热功率，有用功率 ，由效率公式，得×100％（交换场地），若令，则上式化简为. ④当洗衣机电压较低时、启动前内放衣物过多时或卡死时造成无法正常转动，电动机变成了非纯电阻用电器，洗衣机非常危险，线圈极度发热，数十秒可能烧毁。很快当发现不能转动时，应立即关闭电源。因为不转时，，因为电动机的线圈的电阻很小（通常几欧姆），即会极大。 ㈢两个电阻丝与，烧开同一壶水所用时间分别为与. ⑴电阻丝串联时所用时间为串联电路规律为 ，，. 由,得 ，，. 再由，得 ,简化为(类似串联电阻公式). ⑵①并联所用时间，并联电路规律为 ,,. 由得, 即 , , . 再由,得 ,简化为 或(类似并联电阻公式). ②由得,即 ,,, 再由,得,简化为 或.