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§ 6.3 圆柱坐标平面应变问题解析 求混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体时变形力计算。 圆柱体镦粗时，如果锻件性能和接触表面状态没有方向性，则内部的应力应变状态对称于圆柱体轴线（z轴），即在同一水平截面上，各点的应力应变状态与?坐标无关，仅与r坐标有关。因此是一个典型的圆柱体坐标轴对称问题。 由于d? 很小， 忽略高阶微分，整理得： 对于均匀变形， 上式即为： 由近似屈服准则 代入上式得： §6.1 概述 §6.2 直角坐标平面应变问题解析 §6.3 圆柱坐标平面应变问题解析 第六章 主应力法 §6.1 概述 主应力法又称为平截面法和平均应力法，是最早用于工程上求解塑性加工变形力的一种方法。 主应力法的实质是将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。 为使问题简化，需建立下列基本假设： （1）把问题简化成平面问题或轴对称问题 （2）根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体截取包括 接触面在内的基元或基元板块，切面上的正应力假定为主应 力，且均匀分布。 （3）由于以任意应力分量表示的屈服方程是非线性的。 §6.1 主应力法解题基本原理 建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。 假设： 1．平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等看作是平面应变问题和轴对称问题。 2．假设变形体内应力分布均匀，仅为某个坐标的函数。以获得近似的应力平衡微分方程，或将变形区内截取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由此把该单元体的应力平衡微分方程改变为常微分方程。 3. 采用近似的屈服准则。工程法把接触面上的正应力假定为主应力，于是对于平面应变问题，塑性条件 化简为 或 对于轴对称问题，塑性条件 可简化为 4．简化接触面上的摩擦。采用以下三种 库仑摩擦定律： （滑动摩擦） 最大摩擦定律： （粘着摩擦） 摩擦力不变条件: （混合摩擦条件） 5．如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为均质和各向同性等。 适用于求该过程变形 力的力平衡微分方程 平面应变问题基本方程的简化 简化 实际使用主应力法时，力平衡方程的建立，有时并不是从已有的力平衡微分方程进行简化，而是从变形体上截取单元体，并用力平衡方法建立适当的力平衡方程 由上图中单元体求 力平衡方程，可得： 或 根据假设， 、 是主应力， 影响，由屈雷斯加条件： 是摩擦力且对屈服无 把k作常量处理 轴对称问题基本方程的简化 研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 根据主应力法的假设，认为变形是均匀的。从变形体内分离出来的单元体的界面是圆柱面，在变形过程中仍保持为圆柱面。假想一个半径为r ，高为z的圆柱体，在变形过程中满足下面的体积不变条件： 即： 又因为 根据列维-米塞斯的应力-应变关系式 由于 ，因此，独立的应力分量仅剩下三个： 由于分离单元体时，单元体的一组边界面是 接触表面， 为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 的，剩下的未知应力只有两个，即 和 个方向的平衡方程就可以了。 只需要建立一 §6.2 直角坐标平面应变问题解析 图14-2 矩形工件的平锤压缩 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 图所示。由于对称性，仅研 究其右半部。 第一步 从变形区内取一单元体作受力分析。假定是主应力且均匀分布，当沿x轴坐标有dx的变量， 相应的变化量就可用微分 来表示。y方向上的压 应力用 来表示。摩擦应力 的方向同金属质点 第二步 列出单元体的力平衡方程，得到的是近似的 常微分方程： 流动方向相反。 第三步 列出线性的屈服条件，并同平衡方程联解。 第四步 根据应力边界条件确定积分常数。 积分 当x=b/2时， 图14-3 低摩擦时矩形件镦粗接触表面压力分布 低摩擦时矩形件镦粗接触表面压力分布 高摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 整理后为 积分 在工件的中心处 有最大的压力 混合摩擦条件下的压缩 对于存在着滑动摩擦和粘着摩擦的混合摩擦条件情况，可用下面的平衡方程式表示： 当 时 当 时 假设两种摩擦条件的交界面位置的坐标为X1,则 当X=X1时 或 其中： 当0≤x≤x1时，是粘着摩擦条件： 中心线右边的单元体的平衡方程为： 积分 在x=x1处: 当x1≤x≤b/2时，是滑动摩擦条件：