四五章习题课.ppt

* 参 数 估 计 假 设 检 验 （复习.总结） 三、补充练习 一、内容小结 二、典例分析 一、内容小结 1. 基本概念 总体X，简单随机样本(X1,X2,…,Xn) ，样本值(x1,x2,…,xn) ，统计量。 点估计：矩估计；极大似然估计；估计量；估计值 样本数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩。 假设检验：两类错误，显著性检验，显著性水平，双边检验，单边检验，检验统计量，接受域，拒绝域，临界值点，。 估计量的评选标准：无偏性；有效性；一致性 区间估计：置信水平，置信区间； ?分位点，双侧?分位点 2. 常用统计量的分布 ①三大统计分布 设总体 X～N(0,1), (X1,X2，…Xn)为样本,则 3） 设U~ ?2(n1), V~?2(n2),且U与V相互独立,则 ②单个正态总体 设总体 X～N(?，?2), (X1,X2，…Xn)为样本, 则 ③两个正态总体 设总体X～N(?1,?12),Y ～?2,?22), 且X与Y相互独立, (X1 ,X2，…Xn1), (Y1 ,…Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则 1） 一般情况时有 3） 2） 当?12= ?22时 二、典例分析 例1 设总体X的概率密度为 解: 1) ?的矩估计量. 其中?-1是未知参数,X1,X2,…Xn是来自X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量. 由于总体X的数学期望为 令其等于样本均值 即 解得未知参数?的矩估计量为 第13张 2) ?的极大似然估计量. 设(x1,…xn)是样本(X1,…Xn)的一个观测值,则参数?的似然函数为 解之,得?的极大似然估计值, 从而得?的极大似然估计量为, 第14张 方法总结 矩估计：将要估计的总体参数?表示成总体X的矩的函数，然 后用相应的样本矩代替总体矩的一种估计法。 方法步骤 2）用样本的k阶矩代替总体的k阶矩，即 1）计算总体的1阶矩（2解，…，k阶矩），计算的结果是参数 ? 的函数；即： 第11张 3）从上述方程中解出?， 极大似然估计： 步骤： 思想： 达到最大 1） 写出似然函数L(?) 2） 求似然函数L(?)的最大值点 ① ③其它方法 ② 第12张 例2：投资的回收利润率常常用来衡量投资风险，随机地调查26个年回收利润率(%),得样本标准差S=15(%),设回收利润率为正态分布，求它的方差的区间估计(置信度为0.95） 解： 选用统计量， 查自由度为26-1=25的?2分布表得： 使得 于是得?2的置信度为0.95的置信区间为 将S2=152,n=26代入得方差?2的置信度为0.95的区间估计为 (138.39,428.73),标准差?的置信度为0.95的区间估计为 区间估计： ① 从已知条件出发，寻求一个含有?（而不含有其它未知参数）的样本函数Z=Z(X1,X2,…,Xn,?), 使得随机变量Z的分布为已知的（最好是常用的）分布； ② 根据Z的分布的?分位点，解出?的置信区间。 方法步骤 例3：设总体X的密度函数为 其中?0是未知参数,(X1,X2,…Xn)来自总体X的样本， Yn=max（X1,X2,…Xn） (1)证明： 和 都是?的无偏估计量； (2)比较两个估计量，哪个更有效？ 证: (1)因为 于是 又总体X的分布函数为 因此Yn的密度函数为 于是 所以 和 都是?的无偏估计量 (2)由于方差越小，估计量越有效，因而只需要算出这两个估计量的方差即可。又， 同样求得 所以前者更有效。 例5 在70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦 牙 干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA）。到了 80年代初期开发了一种新的麦牙干燥过程。下面给出分 别在新老两种过程中形成的NDMA含量（以10亿份中的分数计）。 3 1 0 1 2 3 0 1 2 2 1 2 新过程 4 7 6 4 6 5 5 6 5 5 4 6 老过程 记对应于老、新过程的总体的 设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等。 检验假设（取 独立。分别以 均值，试 分析：这是两个正态总体均值关系的一个假设检验问题， 是一个单边检验，且两总体的方差未知但相等，该如何选取 统计量呢？ 仍选择T统计量。 解： 若 为真，则统计量 所以 这里 查表得 所以拒绝域为： 所以在 下， 落入拒绝域中，拒绝 即认为 代入计算得 假设检验 基本步骤 （2）根据已知条件确定检验统计量。 （3）按 ，求出拒绝域。 （4）根据样本值作出拒绝还是接受H0的判断。 （1）根据实际问题的要求，提出原