四边形专题辅导材料3.doc

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数 量关系： ； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长． （可利用（2）得到的结论） 【关键词】正方形与旋转 【答案】解：（1）如图①AH=AB………………………..1分 （2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND………………………………3分 ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM………………………………….4分 ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB=AH…………………………………………….. .5分 （3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH， 得到△ABM和△AND ∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE． 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD. 设AH=x，则MC=, NC= 在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得 ∴………………………6分 解得.（不符合题意，舍去） ∴AH=6.……………………………………………7分[来源:Zxxk.Com] 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10． (1)求梯形ABCD的周长； (2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【关键词】运动与等腰三角形 【答案】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E ∵四边形ABCD是直角梯形 ∴四边形ABED是矩形 ∴AD=BE=2，AB=DE=8 在Rt△DEC中，CE===6 ∴梯形ABCD的周长= AB+BC+CD+DA=28. （2） ① ∵梯形ABCD的周长为28，PQ平分梯形ABCD的周长 ∴BP+BC+CQ=14 又∵BP=CQ=t ∴t+8+t=14 ∴t=3 ∴当t=3时，PQ平分梯形ABCD的周长. ②（i）当0≤t≤8时，过点Q 作QG⊥AB于点G ∵AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，sinC=，cosC= ∴CF=，QF=，PG==，QG=8－ =（8－t）2+22=t2+16t+68， PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2= 若DQ=PD，则（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8； 若DQ=PQ，则（10－t）2=， 解得：t1= ，t2=＞8（舍去），此时t=； （ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t， ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立； 而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形； （iii）当10＜t≤12时，PD=DQ= t－10， ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立； 综上所述，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=，DC=，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒，点Q由B向A运动，速度为每秒，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？ 已知：如图，四边形ABCD中，∠B=900，BC=8cm,CD=24cm, AB=