四随机变量的数字特征深圳大学.ppt

四、随机变量的数字特征 * 考试内容 （一）随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望（均值） 设X的分布律为 (级数 绝对收敛) 则 2.连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则 （ 绝对收敛） 3.随机变量函数的数学期望 （1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数. 离散型： 连续型： (2)(X,Y)为二维随机变量, z=g(x,y)为x,y的二元函数. 离散型： 连续型： 4.数学期望的性质 (1) E(C)=C; (2) E(aX+b)= aE(X)+b; (3) E(X1+ X2+‥+Xn)=E(X1)+ E(X2)+‥+E(Xn); (4) 若X1, X2,‥,Xn相互独立,则 E(X1 X2‥Xn)=E(X1) E(X2)‥E(Xn); (5) （二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2} 均方差或标准差： 2.计算 (1) 离散型： (2)连续型： (3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X). 3. 方差的性质 (1) D(X)=E(X2)-E2(X)， E2(X)=D(X)+E(X2) (2) D(C)=0; (3) E(aX+b)= a2D(X); (4) D(X±Y)=D(X)+ D(Y) ±2Cov(X,Y); 若X, Y相互独立,则 D(X±Y)=D(X) +D(Y). (5) D(X)=0 P(X=C)=1. （三）协方差、协方差矩阵与相关系数 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 1.协方差 2.相关系数 用来表征随机变量X,Y之间线性关系的紧密程度. 当 较大时，说明X,Y 线性关系程度较强； 当 较小时，说明X,Y 线性关系程度较弱； 当 时，称X与Y不相关（线性）. 3.协方差矩阵 设(X1, X2,‥,Xn)是n维随机变量,若 cij=Cov(Xi,Yj), 存在，则称矩阵 为n维随机变量(X1, X2,‥,Xn)的协方差矩阵. 4.协方差及相关系数的性质 Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y); (3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X）; (4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y); (5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y); (6) (7) X与Y以概率1线性相关,即存在a,b, 且a≠0,使 (8) （四）矩与混合矩 1.随机变量X的k阶原点矩： 随机变量X的k阶中心矩： 2. 设(X,Y)为二维随机变量, X和Y 的k+l 阶混合原点矩为： X和Y 的k+l 阶混合中心矩为： 数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩， 协方差是1+1阶混合中心矩. （五）常见分布的数学期望与方差 指数分布 正态分布 均匀分布 超几何分布H(N,M,n) (1-p)/p2 几何分布 G(p) 泊松分布 np(1-p) np 二项分布B(1,p) p(1-p) p 0-1分布B(1,p) 方差 数学期望 分布 （六）重要结论 5个等价条件： 注意：X,Y相互独立为上述5个条件中任何一个 成立的充分条件，但非必要条件. 考点与例题分析 考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性 考点一：数学期望和方差的计算 1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算. 例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各 部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部 件数,试求X的E(X)和D(X). 解法1 先求出分布律： 设事件Ak={第k个部件要调整} （k=1,2,3),则 即X具有的分布律为： 从而有E(X)=0.6，D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46. 解法2 用分解法：引进随机变量 X~0-1分布， 且X=X1+X2+X3， E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46 注:1.将一个“复杂”的随机变量分解