因点动构成等腰三角形.doc

因点动构成等腰三角形 基本题型： 已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为直角三角形，求点坐标。 分两大类进行讨论： （1）为斜边时（即）：点在以为直径的圆周上。 利用中点公式求出的中点； 利用圆的一般方程列出的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。 （2）为直角边时，分两类讨论： ①以为直角时（即）： ②以为直角时（即）： 利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出（或）的斜率；进而求出（或）的解析式； 将（或）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。 所需知识点： 两点之间距离公式： 已知两点， 则由勾股定理可得：。 圆的方程： 点在⊙M上，⊙M中的圆心M为，半径为R。 则，得到方程☆：。 ∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。 中点公式： 已知两点，则线段PQ的中点M为。 任意两点的斜率公式： 已知两点，则直线PQ的斜率： 。 一．解答题（共7小题） 1．如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？ （3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的值． 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）由根据题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，可得PW是△FMN的中位线，然后即可证明△FMN∽△QWP； （2）由（1）得，△FMN∽△QWP，当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，根据DM=BN=x，AN=6﹣x，AM=4﹣x，利用勾股定理求得FM2=4+x2，MN2=（4﹣x）2+（6﹣x）2，FN2=（4﹣x）2+16，然后分①当MN2=FM2+FN2时，②当FN2=FM2+MN2时，③FM2=MN2+FN2时三种情况讨论即可． （3）根据①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6﹣x，故只有当x=4时，MN的值最小即可求得答案，②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2，解得x即可 解答：解：（1）由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点， ∴PW是△FMN的中位线，即PW∥MN， ∴===， ∴△FMN∽△QWP； （2）由（1）得，△FMN∽△QWP， ∴当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，反之亦然． 由题意可得DM=BN=x，AN=6﹣x，AM=4﹣x， 由勾股定理分别得FM2=4+x2，MN2=（4﹣x）2+（6﹣x）2，FN2=（4﹣x）2+16， ①当MN2=FM2+FN2时，（4﹣x）2+（6﹣x）2=4+x2+（4﹣x）2+16， 解得， ②当FN2=FM2+MN2时，（4﹣x）2+16=4+x2+（4﹣x）2+（6﹣x）2 此方程无实数根， ③FM2=MN2+FN2时，4+x2=（4﹣x）2+（6﹣x）2+（4﹣x）2+16， 解得x1=10（不合题意，舍去），x2=4， 综上，当或x=4时，△PQW为直角三角形． （3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6﹣x， 故只有当x=4时，MN的值最小，MN2的值也最小，此时MN=2，MN2=4，（10分） ②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2，=2（x﹣5）2+2， 当x=5时，MN2取得最小值2，∴当x=5时，MN2的值最小，此时MN2=2． 点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识． 2．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动． （1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=　　（s）时，△PBC是直角三角形； （2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三