暑假数学作业之解析几何.doc

暑假数学作业之解析几何 01．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。 （Ⅰ）求这三条曲线的方程； （Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。 02.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程; (2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E. 求证: 的充要条件是. 03.(本小题满分1分) =1( a 0, b 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点. (1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)； (2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 04．（本小题满分13分） 设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程． 05．（本小题满分12分） 已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线. （）求抛物线的方程； （）当直线与抛物线相切时，求直线的方程 （）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程. . （本题满分14分） 已知直线与曲线交于两点A、B。 （1）设，当时，求点P的轨迹方程； （2）是否存在常数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。 （3）是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。 07 （本小题满分14分） 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2。 （I）求此双曲线的渐近线的方程； （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且。若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。 08．（本小题满分12分） 设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5． （1）求椭圆的离心率； （2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程． 09（本题满分分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、． （ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标； （ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在,求出点 坐标,若不存在,请说明理由. 10（本题满分12分）已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是。 (I)求曲线的方程； (II)设为曲线与轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为的直线，与曲线相交于两点，使，且与夹角为?若存在，求出值，并写出直线的方程；若不存在，请说明理由。 11（本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。 （1）求椭圆的方程； （2）求的值（O点为坐标原点）； （3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。 12.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点，与椭圆C交于相异两点A、B，且． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）求m的取值范围． 13（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线与C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆和直线的方程； （2）记曲线在直线下方的部分与线段所围成的平面区域（含边界）为．若曲线与有公共点，试求实数的最小值． 和上的两个动点，线段的长为，是的中点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值． 15（本题满分15分）已知抛物线焦点为F（0，1），且过点A（2，t）， （I）求t的值； （II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，直线PQ的斜率为定值，求出这个值. 暑假数学作业之解析几何参考答案 01．（12分）解：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得 ………………………………………………（1分） 由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………（2分） 对于椭圆， ………………………………