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数学建模之下料问题 摘要 根据题目了解材料下料问题的有关资料，特别针对钢管下料，由题目已给的条件和要求，我们确定如下两个目标切割费用最少和切割总根数最少。首先我们通过讨论和分析确定材料切割模式，其次建立数学模型进行分析研究，再则模型求解和优化，最后进行该模型评价与改进。 对于钢管下料，首先我们要考虑的是取材问题，材料的质量与价格直接影响下料采取的切割模式。而在数学模型中我们常假设其价值为0。其次我们着重考虑的就是钢管下料问题中的生产式，生产方式直接影响着所需花费成本的多少，因而如何选取合理的生产方式是节约成本及我们所研究问题的关键。生产方式不仅仅直接影响着一个厂的利益，而且决定着一个国家经济的发展以及人类对于地球资源的利用率。对于当今我国社会基本国情和存在的矛盾，通过我们对于该模型的合理应用，将大大提高资源利用率减少生产成本，取得更多的利益。 本文针对于钢管的下料，要求达到切割钢管花费最省及切割总根数最少最优目标。首先通过数学分析，确定分割模式；其次运用有关函数以及线性整数知识初步建立模型，最后利用数学模型案例及相关软件对其切割模型进行优化求解。本文利用有关市场中的案例充分将模型实用优化，以其两个目标和题目要求为基础，利用函数和线性知识进行模型分析建立，最后用LINGO等数学软件求解优化。我们得出如下结论，切割模式最少则切割花费最省，切割花费最省则切割模式要最少。 [关键字] 切割模式 LINGO软件 线性整数 一、问题提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 4、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 5、每一根钢管的费用都一样，为一常值。 6、假设其中为第i种模式下所做切割的根数。 7、设总费用为P，且假设钢管余料价值为0.。 8、rij 表示第i种模式下将钢管切成290mm、315mm、350mm、455mm为r。j根。 290mm 315mm 350mm 455mm 余料 x1 r11 r12 r13 r14 x2 r21 r22 r23 r24 x3 r31 r32 r33 r34 x4 r41 r42 r43 r44 三、问题分析和模型的建立与求解 1.问题分析 2.模型的建立 根据情况，我们忽略每根钢管的成本价，直接计算增加的总费用，即： min P=0.1x1+0.2x2+0.3x3+0.4x4 假设了条件：x1=x2=x3=x4 (1) 满足客户的约束条件为： r11x1+r12x2+r13x3+r14x4 ≥ 15 （2） r21x1+r22x2+r23x3+r24x4 ≥ 28 （3） r31x1+r32x2+r33x3+r34x4 ≥ 21 （4） r41x1+r42x2+r43x3+r44x4 ≥ 30 （5） 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm，也不能少于1750mm（余料不能大于100mm），于是 1750≤15r11+28r21+21r31+30r41 ≤1850 （6）End 6