正弦和余弦定理应用举例.ppt

第八节 正弦和余弦定理应用举例 ? 　　测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了. 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处( -1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ ? 本例考查正弦、余弦 定理的建模应用.如图 所示，注意到最快追 上走私船且两船所用 时间相等，若在D处相 遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD. 【解】　设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD＝10 ，BD＝10t， 在△ABC中，∵AB＝ －1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝( －1)2＋22－2·( －1)·2·cos 120°＝6， ∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直. ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船. sin∠BCD= 3.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以 内的区域，如图所示，设A和B是我国的观测站，A与B 之间的距离为s n mile，海岸线是过A、B的直线，一外 国船只在P点，在A站测得∠BAP＝α，同时在B站测得 ∠ABP＝β，问α及β满足什么三角函数不等式时，就 应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我 国海域？ 解：过P作PC⊥AB交BA延长线于C， 在△ABP中，由正弦定理，得 ∴当PC≤d， 即 时，就应向未经特许的外国船只发出警告. ? 在Rt△APC中，PC=·sin 　 在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就考查了这一点.该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点.同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向. (2009·海南、宁夏高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤. [解]　方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图所示). ②第一步：计算AM.由正弦定理得 第二步：计算AN.由正弦定理得 第三步：计算MN.由余弦定理得 MN= AN= AM= 方案二：①需要测量的数据有： A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示). ②第一步：计算BM. 由正弦定理得 第二步：计算BN. 由正弦定理得BN= 第三步，计算MN.由余弦定理得 MN= 本题要求考生设计方案解决问题，方案的每一步都应该是充分的、完整的，2009年考生普遍犯的错误是方案一中步骤不够完整，第一步、第二步没能由正弦定理把AM、AN应用所测数据表示出来，造成因解题步骤不规范而失分. * * * 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫 仰角，在水平线 的角叫俯角(如图①). 上方 下方 2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方 位角为α(如图②). 仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示：三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的. 3.方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向. (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角). 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比). 1.从A处望B处的仰