自适应控制结课作业讲义.docx

自适应控制结课作业2016年1月1 遗忘因子递推最小二乘法1.1最小二乘理论最小二乘最早的想法是高斯在1795年预测行星和彗星运动轨道时提出来的，“未知量的最大可能的值是这样一个数值，它使各次实际观测和计算值之间的差值的平方乘以度量其精确度的数值以后的和为最小”[1]。这一估计方法原理简单，不需要随机变量的任何统计特性，目前已经成为动态系统辨识的主要手段。最小二乘辨识方法使其能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。由最小二乘法获得的估计在一定条件下有最佳的统计特性，即统计结果是无偏的、一致的和有效的。1.2带遗忘因子的递推最小二乘法1.2.1白噪声与白噪声序列系统辨识中所用到的数据通常含有噪声。从工程实际出发，这种噪声往往可以视为具有理想谱密度的平稳随机过程。白噪声是一种最简单的随机过程，是由一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。白噪声的数学描述如下：如果随机过程均值为0，自相关函数为，即式中，为单位脉冲函数(亦称为Dirac函数)，即，且则称该随机过程为白噪声，其离散形式是白噪声序列。如果随机序列均值为零，且两两互不相关，即对应的相关函数为：则这种随机序列称为白噪声序列。其谱密度函数为常数。白噪声序列的功率在到的全频段内均匀分布[2]。建立系统的数学模型时，如果模型结构正确，则模型参数辨识的精度将直接依赖于输入信号，因此合理选用辨识输入信号是保证能否获得理想的辨识结果的关键之一。理论分析表明，白噪声作为被辨识系统的输入时，可以激发系统的所有模态，可对系统充分激励，可防止数据病态，保证辨识精度，可以保证获得较好的辨识效果。图1-1 白噪声序列1.2.2遗忘因子递推最小二乘法假设被辨识的系统为一单入单出的离散时间系统，且已知为CAR模型，如图2所示：图1-2 辨识系统模型即式中，为输入变量，为输出变量，为白噪声，且则上式可转化为如下最小二乘格式：式中，为数据向量，待估参数向量，且取算法的性能指标为式中，为遗忘因子（）。带遗忘因子的递推最小二乘估计的算法公式为：公式表明，新的参数估计是用新的实际测量值与基于老模型进行预测得到的量之偏差，对前面的参数估计加以修正得到的，修正系数阵为。的物理意义是参数估计误差的方差，作为参数估计精度的一种度量。遗忘因子的作用是削弱过去数据的作用，通常选择0.95到0.998之间的数。带遗忘因子的递推最小二乘估计算法属于在线辨识所用方法的一种，它既能克服离线辨识的缺点，也能克服递推最小二乘估计中的“数据饱和”现象。遗忘因子最小二乘法的算法：已知式阶次、式阶次以及延迟。步骤1：设置初值和及遗忘因子，输入初始数据；步骤2：采样当前输出和输入；步骤3：利用递推公式，计算、和；步骤4：，返回步骤2，继续循环。1.3仿真实例系统模型如下：其中，输入为方差为1的白噪声，为方差为0.1的白噪声。由于和的选择可按如下方法：式中，为充分大的正实数，为零向量或充分小的正的实向量。因此，取初值、。仿真结果如下：图 1-3 参数估计结果图 1-4实际输出与辨识输出对比图 1-5 实际输出与辨识输出对比（局部放大）附录程序1 带遗忘因子的递推最小二乘法：clear all; close all;a=[1 1.2 0.8 0.1]; b=[1 0.5 2 1.5]; d=3;na=length(a)-1; nb=length(b)-1;L=1000;uk=zeros(d+nb,1); %输入初值：uk(i)表示u(k-i)yk=zeros(na,1);%输出初值ymk=zeros(na,1); %辨识输出的初值u=randn(L,1); %输入采用白噪声序列xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %白噪声序列thetaek=zeros(na+nb+1,1); %thetae初值P=10^6*eye(na+nb+1);lambda=0.998;for k=1:L theta(:,k)=[a(2:na+1);b];%对象参数真实值phi=[-yk;uk(d:d+nb)];phim=[-ymk;uk(d:d+nb)];y(k)=phi*theta(:,k)+xi(k);ym(k)=phim*thetaek; %递推公式： K=P*phi/(lambda+phi*P*phi);thetae(:,k)=thetaek+K*(y(k)-phi*thetaek); P=(eye(na+nb+1)-K*phi)*P/lambda;thetaek=thetae(:,k); %产生新的phi和phimfor i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);ymk(i)=ymk(i-1)