ch1p3 二维傅里叶变换.ppt

* 还可以用来计算复杂的积分，比如： 广义巴塞伐定理 如果F{f(x,y)}=F(u,v), F{g(x,y)}=G(u,v), 则有 可以用来计算一些复杂函数，例如： * 5. 导数定理 设 则有 * 证明： 以一维函数f(x)为例子， * 6 积分定理 假设F{f(x,y)}=F(u,v), 则有 7 矩定理 函数f(x,y)的m+n阶矩，即为积分： * 二阶矩定理 一阶矩定理 零阶矩定理 * 常见函数的傅里叶变换 * 3. 广义傅立叶变换计算举例 阶跃函数step(x)的傅立叶变换 * 梳状函数comb(x/a)的傅立叶变换(a0) 对这个周期函数做傅立叶级数展开(周期为a) * * 3 其他几个函数的FT变换 rect函数 三角形函数(tri函数) * 3. 高斯函数gaus(x) * * * 5. 正弦函数和余弦函数的FT * 6. 圆域函数的FT * 证明： 宽帽沿函数。 * * 有限余弦波列的FT 半边指数函数的FT 阻尼正弦的FT a0 * 小结： * 1.5 FT的基本性质和有关定理 本节给出一些重要的FT性质，间或加以推导 利用这些性质，只要知道不多的几个函数的FT，就很容易求出其他函数的FT，起到化难为简的作用 这些性质和定理在线性系统分析，信号处理，图像处理等领域经常使用。 * 1.5.1 FT的基本性质 线性性质 设 有 a.和的FT等于FT的和————叠加性 b.幅值按同样的比例缩放————均匀性 c.同时具有叠加性和均匀性————线性性质性 a,b为常数 * 对称性 若 则 证明： * 对称性的一些其他情形 若f(x,y) 为偶函数，则F(u,v) 也是偶函数， 即: 若f(-x,-y) = f(x,y), 则F(-u,-v) = F(u,v)。 若f(x,y) 为奇函数，则F(u,v) 也是奇函数， 即：若f(-x,-y) = -f(x,y), 则F(-u,-v) = -F(u,v)。 * 迭次FT 以连续两次FT为例，二元函数f(x,y)的连续两次FT变换，得到原函数的倒立像，即： * 4、FT的坐标缩放性质 若a,b为不等于零的实常数，若F(u,v)=F{f(x,y)},则有： 证明：略 光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。 如：孔径夫琅和费衍射。 * 、FT的平移性 若F{f(x,y)}=F(u,v),且x0,y0为常数，则有 证明： 空域中的平移造成频域中频谱的相移。光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。 * FT的体积对应关系 假设，F{f(x,y)}=F(u,v)，则有 * 复共轭函数的FT 若F{f(x,y)}=F(u,v)，则有： 如果f(x,y)为实数，则有： 证明： * 1.5.2 FT的基本定理 卷积定理(Convolution Theorem) 相关定理(Correlation Theorem) 巴塞伐定理(Parseval’s Theorem) 广义巴塞伐定理(Generalized Parseval’s Theorem) 导数定理(Derivative Theorem) * 卷积定理 (convolution theorem) 设F{f(x,y)}=F(u,v), F{g(x,y)}=G(u,v)，则有 即两个函数卷积的FT等于它们的FT之积。 两个函数乘积的FT等于它们的FT的卷积。 若f(x,y)和g(x,y)表示两幅图像, 卷积定理即表示: 两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。 * 证明： 同样可证： * 卷积定理在FT理论及应用中非常重要： 对于一个复杂函数，其FT难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的FT易求，则可用卷积定理。 如： 当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的FT，乘积后，再求IFT，即可得两者之卷积。 * 又比如： 数字图像处理或数字信号处理中有FFT与FIFT算法和程序； 光学上可用FT透镜实现FT和IFT功能。 * 2. 相关定理 互相关定理 若： F{f(x,y)}=F(u,v), F{g(x,y)}=G(u,v) 则有： 通常把F*(u,v)G(u,v) 称为f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度, 简称为互谱密度。 互相关定理表明：两个函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。 *