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§6.1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质 上页 下页 结束 首页 上页 下页 结束 首页 一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质 上页 下页 结束 首页 曲边梯形 设函数y?f(x)在区间[a? b]上非负、连续? 由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧称为曲边? 1? 曲边梯形的面积 下页 观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形? 当小矩形的宽度减少时? 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化？ 怎样求曲边梯形的面积？ 下页 求曲边梯形的面积 (1)分割? a?x0?x1?x2? ??? ?xn?1?xn?b? ?xi?xi?xi?1? 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi?1??i ?xi)? (2)近似代替? (4)取极限? 设??max{?x1? ?x2? ???? ?xn}, 曲边梯形的面积为 (3)求和? 下页 2? 变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v?v(t)是时间 t 的连续函数? 且v(t)?0? 计算物体在时间段[T1? T2]内所经过的路程S? (1)分割? T1?t0?t1?t2? ??? ?tn?1?tn?T2? ?ti?ti?ti?1? (2)近似代替? 物体在时间段[ti?1? ti]内所经过的路程近似为 ?Si?v(?i)?ti (ti?1?? i?ti )? 物体在时间段[T1? T2]内所经过的路程近似为 (3)求和? (4)取极限? 记??max{?t1? ?t2? ???? ?tn}, 物体所经过的路程为 首页 定积分的定义 在小区间[xi?1? xi]上任取一点?i (i?1? 2? ???? n)? ??max{?x1? ?x2? ???? ?xn}? 记?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ???? n)? a?x0?x1?x2? ??? ?xn?1?xn?b? 在区间[a? b]内插入分点: 设函数f(x)在区间[a? b]上有界? 如果当??0时? 上述和式的极限存在? 且极限值与区间[a? b] 的分法和?i的取法无关? 则称这个极限为函数f(x)在区间[a? b] 下页 定积分各部分的名称 ? ————积分符号? f(x) ———被积函数? f(x)dx ——被积表达式? x ————积分变量? a ————积分下限? b ————积分上限? [a, b]———积分区间? ———积分和? 定积分的定义 二、定积分定义 下页 说明 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即 定积分的定义 二、定积分定义 下页 函数的可积性 如果函数f (x)在[a? b]上的定积分存在? 我们就说f (x)在区间[a? b]上可积? 定理1 设f(x)在区间[a? b]上连续? 则f(x)在[a? b]上可积? 定理2 设f(x)在区间[a? b]上有界? 且只有有限个间断点? 则f(x) 在[a? b]上可积? 定积分的定义 二、定积分定义 下页 定积分的几何意义 当f(x)?0时? f(x)在[a? b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、两条直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积? 当f(x)?0时? f(x)在[a? b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、两条直线x?a、x?b与x轴所围成的图形面积的负值? 这是因为 下页 一般地? f(x)在[a? b]上的定积分表示介于x轴、曲线y?f(x)及直线x?a、x?b之间的各部分面积的代数和? 定积分的几何意义 当f(x)?0时? f(x)在[a? b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、两条直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积? 当f(x)?0时? f(x)在[a? b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、两条直线x?a、x?b与x轴所围成的图形面积的负值? 下页 利用定义计算定积分 解 把区间[0? 1]分成n等份? 分点为和小区间长度为 下页 利用几何意义求定积分 函数y?1?x在区间[0? 1]上的