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一、向量及其几何表示 二、向量的坐标表示 三、向量的模与方向角 四、向量的线性运算 五、向量的分向量表示式 六、小结 例 4 设 A (3, -1, 2) 和 B (1, 1, 0) 为空间两点, 求和 平行的单位向量 . 解 从而 1、向量的分向量表示式 即 设 , , 分别是点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 相对 于原点的向径, 则 , , 分别是与 x 轴、y 轴、z 轴的正向同方向的单 位向量, (称为Oxyz 坐标系下的基本单位向量), (见下图) * 微积分Ⅰ * 第七章 向量代数与空间解析几何 §7.2 向量及其线性运算 一、向量及其几何表示 二、向量的坐标表示 三、向量的模与方向角 五、向量的分向量表示式 六、小结 四、向量的线性运算 1、向量及其表示法 既有大小又有方向的量称为向量 (或矢量). 在数学上, 常用一条有向线段来表示向量. 有向线 段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量 的方向. 以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量 记作 2、向径 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 , 这 个向量称为点 M 对于点 O 的向径, 记作 3、自由向量 与起点无关的向量称为自由向量. 4、向量的相等 若两个向量 和 的大小相等, 且方向相同, 则说 向量 和 是相等的, 记作 5、向量的夹角 设有两个非零向量 , 任取空间一点 O, 作 规定不超过π的 (设 ) 称为向量 与 的夹角, 记作 或 即 若 或π, 则称向量 与 平行, 记作 ∥ 若 , 则称向量 与 垂直, 记作 ⊥ 规定: 零向量与任何向量都平行或垂直. 若向量 与 中有一个是零向量, 则规定它们的夹 角可以在 0 到π之间任意取值. 7、向量共面 设有 k (k ≥ 3) 个向量, 当把它们的起点放在同一 点时, 若 k 个终点和公共起点在一个平面上, 则称这 k 个向量共面. 6、向量共线 当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终 点和公共起点应在一条直线上. 因此, 两向量平行, 又 称为两向量共线. 在空间直角坐标系中, 设 有向线段 代表向量 , x0、y – y0、z – z0 为有向线段 在 x 轴、y 轴、z 轴上的 射影, 它的起点为 M0 (x0 , y0 , z0), 终 点为 M (x, y, z), 则分别称 x – 记作 于是有向线段 对应了一个有序数组 ax , ay , az . 反过来, 这个有序数组 ax , ay , az 完全反映了有向线 段 的长度和方向. ∵有向线段 的方向可用 与 x 轴、y 轴、 z 轴的正向所成的夹角α,β ,γ 来刻画, 而 ∴这个有序数组 ax , ay , az 不但确定了 的长度, 而且确定了 的方向, 即有序数组 ax , ay , az 确定了有向线段 所表示 的向量 的全部特征. 向量 综上所述, 在直角坐标系 Oxyz 中, 一个向量对应了 唯一的有序数组 ax , ay , az ; 反过来, 对于给定的有序数 组 ax , ay , az , 也唯一地确定了一个长度为 , 并与 x 轴、y 轴、 z 轴的正向所成的夹角α,β ,γ 的向 量. 有序数组 (ax , ay , az ) 因此 于是任何向量 可唯一地记作 上式称为向量 的坐标表达式, ax , ay , az 称为向 量 的坐标 (或分量), 也称为向量 在坐标轴上的投 影. 从而, 以 M0 (x0 , y0 , z0) 为起点,