高等数学下册第八章第四节复习.pptVIP

一、多元复合函数举例 二、求导法则 三、多元复合函数高阶偏导数 四、全微分形式不变性 * * §4 多元复合函数的 求导法则 ?一元复合函数的求导法则 y ? f(u), u ??(x), ? y ? f(?(x)), y ? f(u), u ??(v), v ??(x), ? y ? f(?(?(x)), (1) z ? f(u, v), u ??(t), v ??(t), ? z ? f(?(t), ?(t)). (2) z ? f(u, v, w), u ??(t), v ??(t), w ??(t), ? z ? f(?(t), ?(t), ?(t)). (3) z ? f(u, v), u ??(x, y), v ??(x, y), ? z ? f(?(x, y), ?(x, y)). (4) z ? f(u, v, w), u ??(x, y), v ??(x, y), w ??(x, y), ? z ? f(?(x, y), ?(x, y), ?(x, y)). (5) z ? f(u, x, y), u ??(x, y), ? z ? f(?(x, y), x, y). z u x y x y 变量关系图 证 t 获得增量?t 后， u ??(t)、v ??(t)的相应增量为 定理1 设函数u ??(t)、v ??(t)都在点 t 可导，函数 z ? f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数 z ? f(?(t), ?(t))在点t 可导，其导数计算公式为 ?u ??(t ??t) ??(t ) , ?v ??(t ??t) ??(t ) , 从而复合函数 z ? f(?(t), ?(t))的增量 ?z ? f(?(t ??t), ?(t ??t)) ? f(?(t), ?(t)) ? f(u ??u, v ??v) ? f(u, v) 因 z ? f(u, v)在点(u, v)有连续偏导数，由上节引理， 其中 ? ?0, ? ?0 ( 当?u ?0, ?v ?0 )。于是 注意到当 ?t ?0 时 ?u ?0, ?v ?0, 在上式中令?t ?0 即得结论。 说明：(1) 定理中的 是一元函数 z ? f(?(t), ?(t))的 导数，为与偏导数相区别，称之为全导数。 (2) 可立即把定理1从点推广到区间： 定理1? 设函数u ??(t)、v ??(t)都在区间I 可导，函数 z ? f(u, v)在区域D具有连续偏导数，并且当t ?I 时， (?(t), ?(t))?D，则复合函数 z ? f(?(t), ?(t)) 在区间I 可 导，其全导数 (3) 定理1还可推广到更多个中间变量的情形。比如， z ? f(u, v, w), u ??(t), v ??(t), w ??(t), 则 复合函数 z ? f(?(t), ?(t), ?(t)) 的全导数 (4) 定理1也能推广到其它形式的复合函数。 定理2 设函数u ??(x, y)、v ??(x, y)在点(x, y) 可偏导， 函数 z ? f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数 z ? f(?(x, y), ?(x, y))在点(x, y)可偏导，其偏导数 可用下列公式计算： 链式法则如右图所示 u v x y z (5) 定理2可推广到更多个中间变量或其它情形。 ?设z ? f(u, v, w), u ??(x, y), v ??(x, y), w ??(x, y), 则 复合函数 z ? f(?(x, y), ?(x, y), ?(x, y)) 的偏导数 ?设 z ? f(u, x, y), u ??(x, y), 则复合函数 z ? f(?(x, y), x, y) 的偏导数 z ux y x y (6)复合函数求导, 应注意分清各层变量。对中间变量 求导时，应把该层中所求导的变量看成自变量，而把该层其它变量看成常量，且不必考虑其它层的变量。 例1 设 z ?e u sinv, 而u ? xy, v ? x ?y, 求 解 例2 设 z ? u v ?sint , 而u ? e t , v ? cost , 求全导数 解 令 z ? f(u, v, t), 则 例3 求函数 z ? u(t) v(t) 的导数。 解 看作是由 z ?