第4次 复变函数的积分(1-4节).ppt

* 第一节 复函数积分的概念 复积分是研究解析函数的一个重要工具。柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要,它们是复变函数论的基本定理和基本公式。 1、复积分的定义 定义1 设C是平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 第十二章 复变函数的积分 设曲线C的两个端点为A与B，如果把从A到B的方向作为C的正方向，那么从B到A的方向就是C的负方向，并把它记作C?。 对于简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方；与之相反的方向就是曲线的负方向。 C a b C C 定义2 D B x y o (3)复积分仍作为一种和式极限来定义的。 这个定义形式上与实函数定积分的定义相同，但实质上是不同的。复积分与二元实函数的第二类曲线积分形式上不同，但反映的实际意义是相同的。 (4)定义中的C在区域D的内部，即C不能在D的外部或边界。 2、复积分存在的条件及计算法 定理 3、复积分的基本性质 第二节 积分基本定理 一、单连通域的柯西定理 问题：复积分的积分值与路径无关条件是什么？ 1、这个定理对于复变函数的研究与发展起着非常重要的作用。它是复变函数理论的基础，因此将此定理称为积分基本定理。 3、定理中的曲线C在区域D的内部，就是说C的内部完全属于D，C不是D的边界。可将此条件适当放宽，有下列结果。 2、定理中的条件是单连通区域D内处处解析，此条件比积分定义中被积函数连续要强得多。 说明： 二、多连通域的柯西定理 D C c1 c2 A D C c1 c2 A —闭路变形原理 *