弹性力学-0255542.ppt

显然有： （2-22） —— 形变协调方程（或相容方程） 即：必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。 例：考虑不满足相容方程的形变分量 其中：C 为常数。 由几何方程得： 积分得： 由几何方程的第三式得： 显然，此方程是不可能的，因而不可能存在相应的位移分量。 2. 变形协调方程的应力表示 （1）平面应力情形 将物理方程代入相容方程，得： （2-22） 利用平衡微分方程将上式化简： （2-15） （2-2） （a） 将上述两边相加： （b） 将 (b) 代入 (a) ，得： 将 上式整理得： （2-23） 应力表示的相容方程 （2）平面应变情形 将 上式中的泊松比μ换为， 得 （2-24） （平面应力情形） 应力表示的相容方程 （平面应变情形） 注意： 当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即 （2-25） 3.按应力求解平面问题的基本方程 （1）平衡微分方程 （2-2） （2）相容方程（形变协调方程） （2-23） （3）边界条件： （2-18） （平面应力情形） 说明： （1）按应力求解一般只限于求解应力边界问题。 （2）对单连体，由上述方程就可完全确定应力分量。 （3）但对多连体，有时还需利用位移单值条件，才能完全确定应力分量。 例11 下面给出平面应力问题（单连体）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） 解 （a） （b） （1） 将式（a）代入平衡微分方程： (2-2) —— 满足 （2）将式（a）代入相容方程： ∴　式（a）不是一组可能的应力场。 §2-5 物理方程 建立：平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。 1. 各向同性弹性体的物理方程在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。 （2-13） 其中：E 为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为横向变形系数，又称泊松比。 （1）平面应力问题的物理方程 由于平面应力问题中 （2-15） —— 平面应力问题的物理方程 注： (1) (2) —— 物理方程的另一形式 （2）平面应变问题的物理方程 由于平面应变问题中 （2-16） —— 平面应变问题的物理方程 注： (2) 平面应变问题 物理方程的另一形式： 由式（2-13）第三式，得 （2-13） (1) 平面应变问题中 ，但 （3）两类平面问题物理方程的转换： （2-16） —— 平面应变问题的物理方程 —— 平面应力问题的物理方程 （2-15） (1) 平面应力问题 平面应变问题 材料常数的转换为： (2) 平面应变问题 平面应力问题 材料常数的转换为： 本章前面主要内容回顾： 1. 两类平面问题： 平面应力问题 平面应变问题 几何特征; 受力特征; 应力特征。 几何特征; 受力特征; 应变特征。 x y y z t b a 水坝 滚柱 2. 平面问题的基本方程： （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） （3）物理方程： （2-15） ——平面应力问题 （2-16） ——平面应变问题 3. 平面问题一点的应力、应变分析 (b) 主应力与应力主向 （2-7） （2-8） (a) 任意斜面上应力 或 —— 平面应力状态应力第一不变量 (c) 最大、最小剪应力及其方向 τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 §2-6 边界条件 1. 弹性力学平面问题的基本方程 （1）平衡微分方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） （3）物理方程：（平面应力） （2-15） 未知量数： 8个 方程数： 8个 结 论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。 2. 边界条件及其分类 边界条件： 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 x y O q P 是力学计算模型建立的重要环节。 边界分类 （1）位移边界 （2）应力边界 （3）混合边界 —— 三类边界 （1）位移边界条件 位移分量已知的边界 —— 位移边界用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为： （2-17） —— 平面问题的位移边界条件 说明： 称为固定位移边界。 x y O q P （2）应力边界条件 给定面力分量边界 —— 应力边界 x y O dx dy ds P A B px py N 由前面斜面的应力分析，得 式中取： 得到： （2-18） 式中： l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如： —— 平面问题的应力边界条件 垂直 x 轴的边界： 垂直 y 轴的边界： 例1 如图所示，试写出其边界条件。 x y a h h q (1) (2) (3) (4