弹性力学-0254581.ppt

3. 按位移求解平面问题的基本方程 （1）将平衡方程用位移表示 由应变表示的物理方程 将几何方程代入，有 （2-19） （a） 将式(a)代入平衡方程，化简有 （2-20） （2）将边界条件用位移表示 位移边界条件： 应力边界条件： （a） 将式（a）代入，得 （2-21） （2-17） 式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程 说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。 （2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。 （3）按位移求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-20） （2）边界条件： 位移边界条件： （2-17） 应力边界条件： （2-21） §2-7 按应力求解平面问题 相容方程 1.变形协调方程（相容方程） 按应力求解平面问题的未知函数： （2-2） 平衡微分方程： 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程， 从形变、形 变与应力的关系建立补充方程。 将几何方程： （2-9） 作如下运算： 显然有： （2-22） ——变形协调方程（或相容方程） 即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。 例： 其中：C为常数。 由几何方程得： 积分得： 由几何方程的第三式得： 显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。 2. 变形协调方程的应力表示 （1）平面应力情形 将物理方程代入相容方程，得： （2-22） 利用平衡方程将上述化简： （2-15） （2-2） （a） 将上述两边相加： （b） 将 (b) 代入 (a) ，得： 将 上式整理得： （2-23） 应力表示的相容方程 （2）平面应变情形 将 上式中的泊松比μ代为： ， 得 （2-24） （平面应力情形） 应力表示的相容方程 （平面应变情形） 注意： 当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即 （2-25） 3.按应力求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程 （2-2） （2）相容方程（形变协调方程） （2-23） （3）边界条件： （2-18） （平面应力情形） 说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。 （2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。 例8 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） 解 （a） （b） （1） 将式（a）代入平衡方程： （2-2） —— 满足 将式（a）代入相容方程： ∴　式（a）不是一组可能的应力场。 例8 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） （a） （b） （2） 解 将式（b）代入应变表示的相容方程： 式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。 例9 图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。 解 材料力学解答： 式（a）满足平衡方程和相容方程？ （a） 式（a）是否满足边界条件？ 代入平衡微分方程： （2-2） 显然，平衡微分方程满足。 式（a）满足相容方程。 再验证，式（a）是否满足边界条件？ —— 满足 ——满足 ——近似满足 近似满足 结论：式（a）为正确解 代入相容方程： 上、下侧边界： 右侧边界： 左侧边界： §2-8 常体力情况下的简化 1.常体力下平面问题的相容方程 令： —— 拉普拉斯（Laplace）算子 则相容方程可表示为： —— 平面应力情形 —— 平面应变情形 当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即 或 （2-25） 2.常体力下平面问题的基本方程 （1）平衡方程 （2-2） （2）相容方程（变形协调方程） （3）边界条件 （2-18） （4）位移单值条件 —— 对多连通问题而言。 讨论： （1） —— Laplace方程， 或称调和方程。 （2） 常体力下，方程中不含E、μ （a） 两种平面问题，计算结果 相同 ）不同。 （但 （b） 不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。 —— 光弹性实验原理。 （3） 用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。 满足： 的函数 称