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SIGNALS AND SYSTEMS 信号与系统 第二章 连续信号与系统的时域分析 线性时不变连续系统的分析方法概述 2.1 冲激函数及其性质 2.2 系统的冲激响应 2.3 信号的时域分解和卷积积分 2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 2.5 卷积积分的性质 本章要点 作业 线性时不变连续系统的分析方法概述 连续信号与系统的时域分析： 信号和系统的整个分析过程都在连续时间域内进行 2.1 冲激函数及其性质 2.1.1 冲激函数的三种常用定义 2.1.2 冲激函数的性质 2.加权特性： 3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数: 例2-1-1 已知 的波形如图所示，试求 ，并画出其波形图。 4.单位冲激函数为偶函数: 5.尺度变换: 2.1.3 冲激函数的导数及其性质 2.2 系统的冲激响应 2.2.1 冲激响应的定义 2.冲激响应是阶跃响应的导数 例：试求如图所示电路的冲激响应，已知 。 3.从微分方程求解 例：已知系统的微分方程如下，试求其冲激响应。 当微分方程右边含有 x( t ) 的各阶导数项时（间接法） 例2-2-5 已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激响应 对于一般的微分方程也可以直接求解冲激响应（直接法） 2.3 信号的时域分解和卷积积分 2.3.1 信号的时域分解 2.3.2 零状态响应—卷积积分 对于线性时不变系统，设 卷积积分限的确定 2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 本例采用确定卷积积分限的公式计算较为简便: 2.5 卷积积分的性质 2.5.1 卷积代数 2.5.2 卷积的微分与积分 2.5.3 含有冲激函数的卷积 利用卷积的性质能大大简化卷积计算 例2-5-3： 例2-5-4： 例2-5-5： 例：x(t)和h(t)分别如图所示，试求 x(t)*h(t) 。 例2-5-6：计算下列卷积积分： 本章要点 1.冲激函数的性质 筛选性 加权性 是阶跃函数的导数 是偶函数 尺度变换 冲激偶：筛选性 加权性 2.冲激响应的求解 对阶跃响应求导 从微分方程求解（间接法） 3.卷积积分 卷积的定义 确定卷积积分限的公式 4.图解法确定卷积积分限 5.卷积积分的性质 卷积代数 卷积的微分与积分 含有冲激函数的卷积 作业 2.1-2.2： 2-1⑷，2-3⑵⑷，2-5⑵⑶⑹， 2-23⑵ 2.3-2.4： 2-9⑶⑸，2-11，2-12， 2-13 2.5： 2-15(b), 2-16(b)，2-17⑵⑶，2-20， 2-27 + 图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定积分的上下限。 归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤： 返回 返回 1 2 1 0 1 1 t 0 解： (1) 换元 1 1 0 1 2 1 0 1 0 -2 t 1 0 -2＋t 1 1 0 -2＋t 1 1 -2＋t (2) 折叠 (3) 位移 (4)相乘、积分 1 1 0 -2＋t 1 1 0 -2＋t 1 1 -2＋t 由于卷积运算像乘法运算一样满足分配定律,因此 必须注意，在书写中以上各项的延迟阶跃函数不能丢失。 粗略看来上述结果似乎与例2-4-1的结果不一致，但若将上述结果改写成分段定义的函数，不难验证，结果是相同的。 (1) 交换律 返回 返回 (2) 分配律 证明：利用卷积的定义比较容易得到 例如：两个子系统并联 等效为： 这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次序即可证明此定律。（证明过程略） (3) 结合律 例如：两个子系统级联 等效为： (1) 卷积的微分性质 返回 (2) 卷积的积分性质 (3) 卷积的微积分性质 证明： 条件：应用微积分性质时，被求导的函数在 处应为零值，或者被积分的函数在 区间的积分值（即函数波形的净面积）为零值。 当 i 为正整数时，表示求导数的阶数，当 i 为负整数时，表示求重积分的次数。 注意： 此例不满足卷积微积分性质的条件。 根据信号的时域分解以及卷积的定义，有 或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有 冲激函数的重现性质 以及 返回 利用微积分性质还可以得到 推广到一般情况，有 2.5.4 卷积的时移 若 则 同理 (1) 利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号： 0 2 3 -1 -2 A t -2 2 1 A 0 (1) (1) t t 0 解： 解： 1 2 t 0 2 0 t 1 1 (2) t 0 (2) 2 0 2 t -4 4 2 0 -2 t 2 1 3 4 -2T 0 A t 0 2T A t T T