弹性力学-22.ppt

* （2）代入Galerkin 法方程求解 ∵X = Y = 0，m = 1，∴伽辽金法方程变为： （11-17） * 将其代入伽辽金方程, 可求得： 代回位移式, 有： 当 b = a，取 ? = 0.2时， 上述解答成为： * （3）求应力分量 * 在 处， 相应的面力： * 三、解答的唯一性 * 问题的提出 弹性力学问题的求解方法与途径： 按应力求解； 按位移求解； 直角坐标求解； 极坐标求解等； 多项解； 级数解； 其它初等函数解； 复变函数解； （1）解析解： （2）数值解： 有限差分解（FDM）； 有限单元法（FEM）； 边界单元法（BEM）； 离散单元法（UDEC） ； 不同方法、不同途径得到的不同形式的解，其数值是否唯一？ 就所取未知量，有： 就所用坐标系，有： 就解的函数形式，有： 就解的方法，有： 解微分方程的方法 能量原理或变分法 —— 精确解； —— 近似解； * 解的唯一性定理：对应于一定的体力和边界条件， 某一弹性力学问题的解是唯一的。 证明： （反证法） 假设： 在一定的体力、面力、边界条件下，某个弹性力学问题存在两组解： （1） （2） 考察这两组解是否相同？ ∵它们都为同一问题的解，∴应满足相同的平衡方程和边界条件。 对于第一组解，有： * 对于第二组解，类似有： 将上述两组不同的解方程两边分相减，有： * 可见：两组不同的解的差，对应的状态为： —— 这就证明了弹性力学解的唯一性。 等价于：该弹性体无外力作功，总形变势能为零，即： 因为，物体的形变势能恒为非负，所以，两组解的差对应的是零解。 表明：上述两组解答必须相同。 该弹性体不受体力、面力、边界位移均为零的状态。 * 四、弹性力学的广义变分原理简介 * 经典的变分原理——以最小势能原理为例 条件：位移分量需满足 以位移分量为基本未知量 平衡微分方程 应力边界条件 最小势能原理 （以位移表示的） 总势能泛函 即：位移分量为非独立变量。 变形协调方程 位移边界条件 有条件的变分原理：以一类变量为独立自变函数的变分原理 * 广义变分原理 基本思想： 在经典变分原理的泛函中，引入 Lagrange 乘子，变有条件的变分原理为无条件的变分原理。 由来： 海林格1941年建立； 赖斯纳1950年完善；符勃克1957年改进 Hellinger- Reissner 广义变分原理 以最小余能原理为基础，将最小余能原理的条件通过 Lagrange 乘子引入系统的总余能泛函得到。 以应力 ?ij 、位移 ui 基本未知量， 故称其为二类变量的广义变分原理。 鹫津久一郎1955年发表了类似的成果； 胡海昌-鹫津久一郎广义变分原理； 以应力 ?ij 、 应变?ij 、位移 ui 基本未知量， 故称其为三类变量的广义变分原理。 胡海昌： 论弹性体力学和受范性体力学中的一般变分原理， 《物理学报》，1954，V10，N3 ——等价于全部弹性力学基本方程和边界条件的广义变分原理 * 胡海昌—鹫津久一郎（Washizu）广义变分原理 广义势 能泛函 式中： 为 9个Lagrange乘子，且为坐标的函数。 可以任意对其变分， 成为无条件驻值问题。 广义势能原理 利用变分和应变能密度的性质，可证明： （在边界 Su 上） 广义势能泛函 可表示为： 均为彼此独立的变量。 式中： （15个独立的变量） * 等价于 弹性力学 全部的基本方程； 全部的边界条件。 （15个方程） （6个方程） （在域 ? 内） —— 平衡微分方程 ——几何方程 —— 物理方程 （在边界 S? 上） （在边界 Su 上） （在边界 Su 上） —— 应力边界条件 —— 位移边界条件 —— 位移边界上约束反力 * 作 业 11-1, 11-5 补充题 试利用位移变分方程或最小势能原理，导出平面应力问题的平衡微分方程和应力边界条件。 * * * 弹性力学(第22讲) 武汉理工大学工程结构与力学系 翟鹏程 pczhai@126.com pczhai@ 形变比能（应变能密度）： 整个弹性体的形变势能： ——格林公式 位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。 虚功方程 最小势能原理： 伽辽金变分方程 位移分量同时满足位移和应力边界条件 * 实际存在的位移 （可互相导出） （1）位移边界条件； （2）平衡方程（位移形式）； （3）应力边界条件。 满足 （1）位移边界条件； （2）位移变分方程。 满足 （1）平衡方程； （2）应力边界条件。 位移变分方程 （最小势能原理） * 一、位移变分法 * 里兹（Ritz）法 基本思想： 设定