Chapter5连续体的有限元分析原理.ppt

Gauss（高斯）积分 如果调整n个插值点的位置，使得φ(ξi) 具有2n-1次多项式对被积函数进行逼近，则可以大大提高积分精度，也就是调整插值点的位置，使其达到一个最优组合，这种最优的位置点叫做高斯积分点。 由函数逼近理论，可以构造2n-1次多项式为 积分点有以下条件确定 可以看出，P（ξ）具有以下性质： 1）在积分点上有， P (ξi) =0 2）多项式P（ξ）与ξ i（i=1,2,3......n-1）在域内(-1，1)正交 则积分式变为 n=1 n=2 n=3 n=1 一点高斯积分情况（梯形求积公式，用直线代替y=f(ξ) ） 两点高斯积分情况（抛物线积分公式） 按代数精度的概念，分别令f（ ξ ）=1，ξ，ξ2，ξ3时上式左边与右边分别相等，有 三点高斯积分情况 按代数精度的概念，分别令f（ ξ ）=1，ξ，ξ2，ξ3， ξ4， ξ5时上式左边与右边分别相等，有 多点高斯积分情况 如果按照上面方法来确定，需要求解 多元高次方程组。实际上，一般都采 用拉格朗日多项式来构造和求取相应 的积分点和积分权系数。 对于2D和3D的情况，可以将1D 的结果直接推广到2D和3D积分。 积分点个数n ξ η 1 0 2 2 ±0.577 1 3 ± 0.775 0 0.556 0.889 4 ± 0.861 ± 0.340 0.348 0.652 对于四节点等参数单元，一般取几个积分点就可以比较好地满足积分精度要求。对于更多节点的等参数单元，由于阶次比较高，按理积分点要取得多一些，但是考虑到有限元是把结构无限多的自由度简化为有限多的自由度，结构的刚度被夸大了，而另一方面，由于数值积分得来的刚度矩阵的数值，总是随着所取积分点的数目减少而减少，这样，如果采用偏少的积分点，可以使得上述两个方面的因素引起的误差部分抵消。 可以证明，收敛性所要求的数值积分的最低阶数，就是无误差的计算出单元体积所用的阶数，也就是最低阶数应当取决于的表达式中多项式的系数。实践计算表明，利用低阶积分法则，单元的刚度降低，但是补偿了由于假定位移场所引起的结构刚度增大的情况。各种单元的最佳积分法则通常用试凑和经验来确定。 单元 最佳的积分阶数n 最大的积分阶数n 二维4节点线性单元 2 3 二维8节点二次元 3 4 三维20节点二次元 3 4 * * * 单元的应力 由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵 由弹性矩阵[D]和几何矩阵[B]可以得到应力矩阵[S]，并计算出单元内的应力分量 由应力矩阵可知，除某个剪应力为常量，其它三个正应力分量都是r、z的函数。 单元刚度矩阵 由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标代替[B]矩阵中的变量r、z。 5.5等参单元的一般原理和数值积分 不规则单元 规则单元 要实现两个坐标系中的单元刚度矩阵的转换,必须计算两个坐标系之间的三种映射关系 1)坐标函数映射 2)偏导数映射 3)面积(体积)映射 三角形单元的等参变换 面积坐标 对于图示的三角形单元，p为单元内任意点。使用面积坐标后，各点的坐标可以表示如下：1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1） 面积坐标和普通坐标之间有如下关系： 比较三角形三节点单元的形函数有 由于形函数都在0~1范围内变化，因此在积分时比较方便。 对于三节点三角形单元有 四边形单元的等参变换 5.5.1坐标系的映射与变换——坐标变换 设 上式满足边界条件得 从而可以得到以下关系式 代入4个点的具体坐标值有 从而可以得到以下关系式 回代得 对照前面的单元位移函数，可以发现单元位移模式的形函数和坐标映射变换的形函数一致。即 它通用具有形函数的性质： 1） 2） 5.5.1坐标系的映射与变换——坐标的偏导数变换 雅可比矩阵 因此 其中 显式形式为 5.5.1坐标系的映射与变换——面积的偏导数变换 由于它们是整体坐标系（x,y）的函数，因此有 5.5.1坐标系的映射与变换——体积的偏导数变换 由于它们是整体坐标系（x,y,z）的函数，因此有 5.5.2单元的映射 等参数单元： 几何形状函数矩阵的插值阶次=位移形函数矩阵中的插值阶次 超参数单元： 几何形状函数矩阵的插值阶次位移形函数矩阵中的插值阶次 亚参数单元： 几何形状函数矩阵的插值阶次位移形函数矩阵中的插值阶次 单元应变 其中 单元刚度矩阵 对于被积函数比较复杂的情况，以上积分难以以解析的形式给出， 一般都采用近