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* 计算方法 一、误差的来源与分类 早在中学我们就接触过误差的概念，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是23.4度，就不是一个精确的值，而是含有误差的近似值。事实上，误差在我们的日常生活中无处不在，无处不有。如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。 §1.2 误差的来源与分类 计算方法 计算方法 1. 模型误差 2. 观测误差 3. 截断误差 4. 舍入误差 根据来源分为如下几类： 实际问题 程序设计 数学模型 数值方法 计算机求结果 计算方法 用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差。 数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述。 实际问题的真解 数学模型的真解 为减化模型忽略次要因素 定理在特定条件下建立与实际条件有别 1. 模型误差 计算方法 数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的。 由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制，使数据含有测量误差，这类误差叫做观测误差或测量误差。 根据实际情况可以得到误差上下界。 数值方法中需要了解观测误差，以便选择合理的数值方法与之适应。 2. 观测误差 计算方法 精确公式用近似公式代替时，所产生的误差叫截断误差 例如， 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式 3. 截断误差 （?介于0与x之间） 近似代替，则数值方法的截断误差是 截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差。 计算方法 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算。需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理。 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差。 4. 舍入误差 计算方法 上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析。 计算方法 二、绝对误差 相对误差 有效数字 1、绝对误差和绝对误差限 计算方法 由于精确值一般是未知的,因而e*不能求出来, 但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取 值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。 则称 为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。 定义1.2 设存在一个正数 ，使 计算方法 来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。 实际应用中经常使用 这个量来衡量误差限, 这就是说, 如果近似数 的误差限为 , 则表明准确值x必落在? ? 上, 常采用下面的写法 计算方法 例1 设x =?=3.1415926… 近似值x* =3.14, 它的绝对误差是 0.001 592 6…，因为 ?? ?x-x*?=0.0015926… ?0.002=0.2?10-2 例2 又近似值x* =3.1416， 它的绝对误差是 0.0000073…，因为 ?x-x*?=0.0000073… ?0.000008=0.8?10-5 例3 而近似值x* =3.1415， 它的绝对误差是0.0000926…，因为 ?x-x*?=0.0000926… ?0.0001=0.1?10-3 计算方法 可见，绝对误差限?不是唯一的，但?越小越好。 通常我们在取误差限的时候，为了讨论的方便， 在尽可能小的范围内取做某一位上的半个单位。 计算方法 定义1.3 绝对误差与精确值x的比值 称为相对误差， 简记为 只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲 打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的 误差都是错一个,但显然乙要准确些,这就启发我们除 了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。 2、相对误差 相对误差限 计算方法 相对误差越小,精度就越高,实际计算时,x通常是不知道的,因此可用下列公式计算相对误差 定义1.4 设存在一个正数 ，使 则称 为近似值 的相对误差限。 计算方法 例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差。 解： 根椐定义:甲打字时的相对误差 乙打字时的相对误差 计算方法 定义1.5 如果一个数 的近似值 的误差限不超过某一位的半个单位，则从 的这一位开始，直到它前面的第一个非零