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盐城市2017届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟) 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．函数的最小正周期是 ▲ ． 2．设向量，，若，则实数 ▲ ． 3．命题是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）． 4．已知集合，，则= ▲ ． 5．函数（且）的图象所经过的定点为 ▲ ． 6．在等比数列中，已知，，则 ▲ ． 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ． 8．已知，且为钝角，则 ▲ ． 9．在中，已知，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ． 10．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线斜率 为 ▲ ． 11．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ． 12．在数列中，，且当时，恒成立，则数列的前100项和 ▲ ． 13．在中，已知，，，点在边上，且，则= ▲ ． 14. 设函数，，若使得不等式 对一切正实数恒成立的实数存在且唯一，则实数的值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 设：实数满足，其中； ：实数满足. （1）若，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（本小题满分14分） 设函数（为常数，且）的部分图象如图所示. （1）求的值； （2）设为锐角，且，求的值. 17．（本小题满分14分） 如图，在四边形中，，，为的中点. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 18．（本小题满分16分） 如图所示，有一块矩形空地，km，=km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区，筝形的顶点为商业区的四个入口，其中入口在边上（不包含顶点），入口分别在边上，且满足点恰好关于直线对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口的选址范围； （2）设商业区的面积为，绿化区的面积为，商业区的环境舒适度指数为，则入口如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？ 19．（本小题满分16分） 设函数. （1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值； （2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值； （3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围. 20．（本小题满分16分） 若数列中的项都满足（），则称为“阶梯数列”. （1）设数列是“阶梯数列”，且，（），求； （2）设数列是“阶梯数列”，其前项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列； （3）设数列是“阶梯数列”，且，（），记数列的前项和为. 问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 高三数学试题第4页（共4页） 第16题图 y O O O x 第17题图 D B C A E 第18题图 A B C D E F G