第14讲 相交线和平行线w.docVIP

第14讲 相交线和平行线 知识方法扫描 1．相交线 两条直线相交,得到四个角,其中有一条公共边的两个角互为邻补角; 而没有公共边的两个角叫做对顶角, 对顶角相等. 两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角，那么这两条直线互相垂直。垂线有如下的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线内各点的连线中，垂线段最短。 2．平行线 在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线。经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。本节的重点是平行线的判定和性质，即： 同位角相等，两直线平行；反之有：两直线平行，同位角相等； 内错角相等，两直线平行；反之有：两直线平行，内错角相等； 同旁内角互补，两直线平行；反之有：两直线平行，同旁内角互补。 经典例题解析 例1．求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。 证明：如图，AB、CD相交于O，则∠AOC与∠BOD成对顶角。设OE、OF分别为∠AOC、∠BOD的平分线， ∵ ∠AOE=∠AOC ∠BOF=∠BOD ，且 ∠AOC=∠BOD ∴ ∠ AOE=∠BOF 又∵ ∠BOF+∠FOD+∠DOA=180° 　∴ ∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°，即∠ EOF=180° 　∴ OE、OF在同一直线上。 例2．如果一个角的两条边分别同另一个角的两条边互相平行,那么这两个角之间有什么关系? 答：这两个角相等或互补。 （1）当组成这两个角的两对射线方向对应相同或相反时，这两个角相等，如下图中，∠1=∠2。 （2）当组成这两个角的两对射线，一对方向对应相同，另一对方向相反时，这 两个角互补。如下图中，∠1+∠2=180°。 例3．（2005年第16届“希望杯”数学邀请赛试题） 如图所示，两直线AB、CD平行，则 解 如图，分别过E、F、G、H作AB、CD的平行线，则相邻两条平行线之间的一对同旁内角之和是180。，共有5对同旁内角，所以 故选（B）. 例4．（第12届“希望杯”初一第1试） 已知,，证明 证明 过C点作CF∥AB（如图），则CF∥AB∥ED 例5．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，求证: DG∥BA。 证明．∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴EF∥AD, ∴∠BEF=∠BAD. ∵∠BEF=∠ADG， ∴∠ADG=∠BAD , ∴DG∥BA。 例6．（第4届全国初中数学公开赛试题） 如图，六条直线满足交于一点，则图中同旁内角的对数是 。 解 一个“三线八角”的图形，是由两条被截直线和一条截线组成，其中有两对同旁内角．下面我们先按截线来分类计算“三线八”的图形的个数： ①截线为被截直线可为共有5个“三线八角”的图形。 ②截线为被截直线可为共有6个“三 线八角”的图形． ③截线为同①，共有5个“三线八角”的图形． 。 ④截线为同②，共有6个“三线八角”的图形， ⑤截线为被截直线可为 共有9个“三线八角”的图形． ⑥截线为被截直线可为 共有10个“三线八角”的图形． 所以一共有5+6+5+6+9+10=41个“三线八角”的图形， 从而有82对同旁内角． 例7．（2006年第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题） 平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度，请说明理由． 解 任取一点O，过O作5条直线分别与已知的5条直线平行．所得的5条直线将O点处的周角分为10个角，其中必有一个≤即已知5条直线所成的角中有一个不超过36°． 例8． （1998年第9届“希望杯”数学邀请赛试题） （a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法. （b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由. 解（a）如图，在平面上作二直线m1∥m2∥m3，n1∥n2∥m3。 由于彼此平行的直线不相交，所以图中每条直线都恰与另3条直线相交. （b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下： 假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点. 我们按直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为个，因交点个数应为整数，矛盾。（ 所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。 原版赛题传真 同步训练 一选择题 1．（199