第五启智杯小学组参考答案与评分标准.docVIP

第5届启智杯数学思维及应用能力竞赛(小学组) 参考答案与评分标准 1. 观察如下几个等式： （1）；（2）；（3）；…… 你发现了什么规律？请据此写出第100个式子。 解：第n个式子的分母是前n个连续奇数之和，分子是第n+1至第2n个连续奇数之和，其等号右端都是3。 ———————————————————————————6分 第100个式子为 —————————————————— +4 = 10分 2. 有一个2014位数，其第2、3位数字分别为2、3，第11、30、2014位数字分别为4、5、6. 如果其任何相邻的五位数字之和全相等，请问该数的第一位数字是几？全部2014位数字之和是多少？第一位数字是全部2014位数字之和是其任何相邻的五位数字之和全相等，总有，因此，这说明，这2014位数每五位一循环。 ——————————————————— +2 = 6分 由于11、30、2014第一位数字是，所以这整个数为 —————————————————— + 2 = 10分  3．一个自然数，如果从左到右顺读和从右到左逆读，都是一样的，则这个数称为“数”，如4，55，171，4994，12321等都是数【参考答案】 一位对称数：有9个(1～9) ； 两位对称数：有9个(11，22，33，…，99)； 三位对称数：9×10=90个（1□1，2□2，…，9□9）： 四位对称数：9×10=90个（1□□1，2□□2，…，9□□9）； 五位对称数： 9×10×10＝900个（1□□□1，2□□□2，…，9□□□9）； 六位对称数：9×10×10＝900个（1□□□□1，2□□□□2，…，9□□□□9）.共有：9×2＋90×2＋900×2＝1998个。七位对称数：前10个为1000001，1001001，1002001，…，1009001；接下来的是1010101，1001，1001，1001，1001，1001，…所以，第2014个数为1001. ——————— + 2 = 10分 4．把一张纸片裁剪成8份，称第1次操作；取其中一张再把它裁剪成8份，称第2次操作；如此继续下去，……，能否经过若干次操作正好剪出2014张纸片？若不能，请说明理由；若能，则需要经过多少次操作？写出结果，并说明分析的过程。 解答：用表示第次操作后得到的纸片数。则 ，，，……，。 ——————— 5分 若能剪出2014张纸片，则，解得：不是整数，故不能经过若干次操作正好剪出2014张纸片。 ——————— + 5 = 10分  5. 有如下三组数：，，，； B组：，，，，； C组：，，，，，，。 从每一组中各取一个数，相乘得到一个乘积，求这140个乘积的总和是多少？写出过程和结果。 【参考答案】 +++）1+3+5+7+9）++++++） —— 4分 =25 ——————— + 2 = 6分 = ——————— + 2 = 8分 ==。 ——————— + 2 = 10分 6．如图所示，五个圆中有部分的圆彼此相切（两个圆有且只有唯一一个公共点称两个圆相切），且总共只有三种不同长度的直径。若图中阴影部分的面积和为7，求最大圆内空白处的总面积。 【参考答案】 1:2:3. —————2分 即由小圆到大圆的面积之比为1:4:9. 设最小的圆的面积为，则另外2个圆的面积从小到大依次为，。 ——————— + 2 = 4分 依题意图中阴影部分的面积为：，。—————— + 3 = 7分 则最大圆内空白处的总面积=（）。———— + 3 = 10分 7．如图所示，正方形和正方形边长分别为和，：=2：5，若的面积是6，求的面积。 解答：由：=2：3， ， ， ——————— 2分 如图，连结BF，则,则，从而底为AC的三角形 与同底等高，从而面积相等，即：。 ——————— + 6 = 8分 所以的面积=（）。 ——————— + 2 = 10分  8．通过折纸的手段将一个正方形的每边两等分（对折）、四等分（再对折）、八等分（再对折）等等，都是轻而易举的（如图，虚线为折痕）。请问，你能否在正方形的每边四等分、八等分的基础上，通过折纸将其每边三等分、七等分？能否五等分呢？若能，请在图中用虚线