无中生有，功在圆上.docVIP

无中生有，功在圆上摘 要：辅助圆是一种重要的解题工具，如巧妙地使用它，就能建立起问题的条件与结论之间的联系，从而化隐为显，找到解题的切入点。关键词：辅助圆；直角；同一端点出发的几条线段长相等；两个角成倍半关系；等腰三角形在平面几何中，如果没有圆，就没有几何的丰富多彩。圆在数学的许多方面都有着广泛的应用，其中一种常见的应用就是利用辅助圆来解题。辅助圆是一种重要的解题工具，如巧妙地使用它，就能建立起问题的条件与结论之间的联系，从而化隐为显，找到解题的切入点。如何想到作辅助圆，如何添加辅助圆，如何运用辅助圆，主要还是能否从条件中看出本质。在这里举例说明几个添加辅助圆的常见方法：一、当遇到直角时想到：直角圆周角所对的弦为直径，可以作出定圆例1 如图1，在边长为正方形ABCD中，动点E、F分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止）。在运动过程中，线段CP的最小值为_______。此题极难解决。数据让喜欢猜题目答案的人无从下手。比较常见的做法是建立平面直角坐标系求出P点的坐标，用两点间的距离公式求PC。明显计算量大而且难以把PC的长表示为常见的函数来求最值。由题意知△ADE≌△DCF，由全等三角形的性质可得∠APD=90°，定线段AD=，由∠APD=90°想到点P在以AD为直径的圆上。如图2，点C在⊙O外，C到圆上的点的距离的最小值为OC-R，即。例2 如图3，矩形ABCG（ABBC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点在线段BD上移动，则能使∠APE为直角的点P有（ ）。A.0个 B.1个 C.2个 D.3个由K型图想到相似可以解决。但是相似有两种情形，由于本题没有数据，相似的比例式不好写。设未知数对于部分学生有难度，而本题是存在性问题确定个数，可以更简单一点。由两个矩形是确定的，连接AE，则AE是固定的线段，∠APE为直角，所以想到以AE为直径作⊙O，只要P在⊙O上又在BD上就能保证∠APE为直角。如图可以得知P点有两个位置符合题意。小结：上述两题都是两个定点一个动直角问题，作出两定点为直径的圆，再利用圆的性质解题。延伸：当某一个动角的大小固定也可以想到同弧所对的圆周角相等，也可以构造圆。二、由同一端点出发的几条线段长相等想到：圆上的点到圆心的距离都是半径，都相等例3 如图4，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为_______。从△ABC，△ACD，△ABD为等腰三角形着手可以做出此题。设∠CBD=2∠BDC=2x，∠ABD=y，则∠ADB=y，∠ADC=x+y=∠ACD，∠ACB=2x+y，所以2（2x+y）+44°=180°，2x+x+（2x+y+x+y）=180°，∴ x=22°，y=24°，∠CAD=180°-2（22+24）°=88°。很明显数量关系难找，也容易出错。如果仔细看题，发现AB=AC=AD。如果以A为圆心，AB为半径作圆，则B、C、D三点都在⊙A上，∵∠BAC=44°∴∠BDC=22°，∠CBD=2∠BDC=44°∴∠CAD=88°。这样做简单、快捷、易懂。例4 如图5，在△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=25°，∠DAC=35°，则∠BDC的大小是（ ）。A.70°B.110°C.120°D.50°此题也可用三角形知识来求解。现在由DA=DB=DC可想到，根据圆的定义，以D为圆心，DA为半径作⊙D，点A、B、C都在⊙D上，∠BAC=（25+35）°，利用同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可得∠BDC=120°，故而选C。小结：这两题都有明显的公共端点的三条线段相等的特征，可以利用圆的定义来作圆，再用圆的知识解题。三、当线段的同侧所对的两个角成倍半关系时想到：同弧所对的圆周角是圆心角的一半例5 如图6，在△ABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D且PB=5，PD=3，则AD?DC等于（ ）。A.6B.8C.15D.16由PA=PB，∠APB=2∠ACB想到：以P为圆心，PA为半径作⊙P。由∠APB=2∠ACB知点C在⊙P上，延长BP交⊙P于点E，连接AE，利用圆中的相似可求出AD?DC的值。解：以P为圆心，PA为半径作⊙P，由∠APB=2∠ACB知点C在⊙P上，延长BP交⊙P于点E，连接AE则由∠AEB=∠ACB，∠ADE=∠BDC得△ADE∽△BDC，∴AD?DC=BD?DE=（5-3）（5+3）=16。小结：此题中有两个要素可以联想到构造圆：①PA=PB；②∠APB=2∠ACB。善于发现问题的条件和我们所学知识的联系，可以激发“灵感”，从而巧解问题。四、在平面直角坐标系中确定等腰三角形的个数时可以想到：构造圆，利用圆的半径相等来解决例6 如图7，在平面直角坐标系中