直线与圆锥线的综合应用.doc

1．如图，已知椭圆与的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为和． （1）设直线l：y=kx（k＞0），若=3，证明：B，C是线段AD的四等分点； （2）当直线l与y轴重合时，若=λ，求λ的值； （3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得=λ？并说明理由． 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题． 【】（1）证明：因为=3，又因为M，N到直线l的距离相等， 所以|BD|=3|BA|，由椭圆的对称性，得到|DC|=|BA|，|CO|=|OB|， 所以|BC|=2|BA|?|BO|=|BA|，即B是OA中点， 同理，C是OD中点，B，C是AD的四分点，得证． （2）因为=λ，所以n+m=λmn)，∴λ==，∴， 解得：λ=+1（1的根舍去）． （3）设椭圆：（a＞m），：，直线l：y=kx（k≠0）， 由?，即：，同理可得：， 又∵△BDM和△ABN的高相等，∴， 若存在非零实数k使得=λ，则有（λ1） =λ+1)， 即：，解得：， ∴当λ＞1+时，＞0，存在这样的直线l； 当1＜λ1+时， 0，不存在这样的直线． 如图已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F、F，设A（0，b），若△为正三角形且周长为6． （1）求椭圆G的标准方程； （2）已知垂直于x轴的直线交椭圆G于不同的两B，C，且分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线与交于点P（， ），求点P（，）的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为的直线l，设原点到直线l的距离为d，求d的取值范围． 第2题图 FGQ49 考点 直线与圆锥曲线的综合问题解（1）由题设得 解得：，=1故的方程为．（2）设B（，）则C（，－），（－2，0），（2，0） ∴直线的方程为y=①直线的方程为y= ② ①×②，得 ③ ，∴，∴，代入③得，即，因为点P（，）是直线与的交点，所以即点P（，）在双曲线上（3）设直线l：结合第（2）问的结论，整理得：3－4－12=0于是 且≠0∴∴， 所以d的取值范围是 （0，2）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t10，）；曲线BC是抛物线（a＞0）的一部分；CDAD，且CD恰好等于圆E的半径． （1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围． 考点 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题． （1）由题意可得B（0，30），CD=30t=20，解得t=10． 此时圆E：，令y=0，得AO=10， 所以OD=ADAO=30， 将点C（30，20）代入（a＞0）中，解得a=； （2）因为圆E的半径为30t，所以CD=30t，在中，令y=30t， 得OD=，则由题意知FD=30t+≤45对t ∈（0，10]恒成立， 所以恒成立，当，即t=15（0，10]时，由y=（t∈（0，10]）递减，可知： 当t=10取最小值，故≤，解得a＞． 在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点，若，垂足为，且，则称点关于直线l成“λ对称”．若曲线C上存在点关于直线l成“λ对称”，则称曲线C为“λ对称曲线”． （1）设（0，3），（3，0），若点关于直线l成“对称”，求直线l的方程； （2）设直线l：xy+1=0，判断双曲线是否为“λ对称曲线”？请说明理由； （3）设直线l：x+y=0，且抛物线为“2对称曲线”，求实数m的取值范围． 考点 直线与圆锥曲线的关系． （1）由题意：=（3，3）设，由， 可得，所以 所以直线l：3（x1）3（y2）=0，即所求直线l：xy+1=0； （2）双曲线不是为“对称曲线”事实上，双曲线的两条渐近线分别为xy=0，x+y=0，它们互相垂直， 直线l：xy+1=0与其中渐近线xy=0平行， 所以双曲线上不可能存在两点，更别说满足 （3）因为抛物线为“2对称曲线”，所以存在点， 设直线：y=x+t，由?其中=14（t－m）＞0，且又由，可得 代入得所以由=得t1 由得∈[，+）． 即所求实数m的范围为[，+）． 设有二元关系，已知曲线：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形 ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积； （2）设曲线与x轴的交点是M、N，抛物线：与 y 轴的交点是G，直线MG与曲线交于点P，直线NG 与曲线交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．