直线与圆的置关系(公式及技巧).ppt

第二节 直线与圆的位置关系 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点．BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E，则∠DAC＝________；线段AE的长为________． (1)∠BCF＝∠BAC＝30°，∠ACD＋∠BCF＝∠ACD＋∠DAC＝90°； (2)可证明Rt△ABE≌Rt△BAC. 解：由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB=30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°， 由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°，知∠DCA=60°， 故在Rt△ADC中，∠DAC=30°. 法一：连结BE，如图(1)所示， ∠EAB=60°=∠CBA， 则Rt△ABE≌Rt△BAC， 所以AE=BC=3. 法二：连结EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE=∠CAE=30°， 又∠DCA=60°，故∠ECA=30°， 又因为∠CAB=30°，故∠ECA=∠CAB， 从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l， 可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA=OC，故四边形AOCE是菱形，故AE=AO=3. 答案：30°3 1.已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC 是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的 度数为　　　　 证明四点共圆的方法： 利用定理：若一个四边形的对角互补，则四点共圆． 如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM+∠APM的大小． (1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四点共圆； (2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小． ? 证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆． (2)连结OA，如图(2)所示． 由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM. 由(1)得OP⊥AP.又圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°. 所以∠OAM+∠APM=90°. 2.如图，AB、CD是两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，过 A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2，则 AB＝________，AC＝________. 解析：连结AD，由切割线定理得：PA2＝PC·PD. ∴PD=4. 又PC=DE=1， ∴CE=2. ∴AB=2. 分别作AH⊥PD于H，BM⊥DE于M，连结BD， 则∠ACD=∠BDC=∠BED. 在Rt△APH中， AH= 在Rt△ACH中， AC= 　 答案：2　 1．相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线 段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及 圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用． 2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如 线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有 关的相似三角形等． 已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D. (1)如图所示，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论； (2)当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径． 可作出两圆的公共弦，然后利用弦切角定理、切割线定理解决. 解：(1)EA=ED成立． 连结AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示．∵AE是⊙O1的切线，切点为A， ∴∠FAC=∠ABC. ∵∠FAC=∠DAE，∴∠ABC=∠DAE. ∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D， ∴EA=ED. (2)当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切． 如图(2)所示，由弦切角定理知： ∠1=∠3，∠2=∠4， 又∠1=∠2，∴∠3＝∠4＝ ×180°＝90°， ∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径， ∴由切割线定理知： AC2＝CB·CE，而CB＝2，CE＝8， ∴AC2＝2×8＝16，AC＝4， 故⊙O1的直径为4. 3