第三章 量力学中的力学量.ppt

* 第四章 量子力学中的力学量 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号 量子力学与经典力学相比有两个显著的区别； 一个是专门引入波函数描述体系的状态 §3.1 表示力学量的算符 另一个是用算符表示力学量 表示 把函数u变成 v，， 就是这种变换的算符 例如； 称为微商算符 x 是相乘算符 动量的算符 动量平方的算符 动能的算符 坐标的算符 就是本身 就是本身 势能的算符 能量的算符 二、代表力学量的算符 由算符 动能的经典表示 三，力学量算符的规则 哈密顿量的经典表示 力学量算符的规则； 如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示式 中将 换为算符 而得出，即 得； 例如； 本征值方程 能量算符的本征函数 能量算符的本征值 四、算符和它表示的力学量之间的关系 有确定值 有确定值 本征值实数 如果算符 表示力学量 F ，体系处于 的本征态 时，力学量 F 有确定值，这个值是 在 态中的本征值 五、厄密算符 因此量子力学中表示力学量的算符是厄密算符 厄密算符 本征值实数 实数 力学量的本征值都是实数 如果对于两任意函数 和 ，算符 满足下列等式 设 是厄密算符 （一）动量算符 §3.2 动量算符和角动量算符 其分量形式 得到如下一组解 动量算符本征值方程 归一化系数的确定 如果取 具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数 箱归一化 周期性边界条件 在箱子边界的对应点A, A’上波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件 x y z A A’ o L 如果加上适当的边界条件 设想粒子被限制在一个正方形箱，箱的边长为 L 则可以用归一化方法来归一 这种方法称为箱归一化 分立的 称为箱归一化 讨论： （2）只有分立谱才能归一化为一， 连续谱归一化为 ? 函数 就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值 （4）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求 L 成反比 当 L ? ? 时，本征值变成为连续谱 （3） （1） （2）角动量 按照经典力学； 电子轨道运动的 角动量 线动量 ? x z 球 坐 标 ? y 代入 得 直角坐标与球坐标之间的变换关系 ? x z 球 坐 标 r ? y 得 这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ) ? x z 球 坐 标 r ? y 利用直角坐标和球坐标关系 式两边分别对 x ,y, z 求偏导数得： 式两边分别对 x ,y, z 求偏导数得： 式两边分别对 x ,y, z 求偏导数得：