第五章大数律及中心极限定理.ppt

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2016-12-19 发布于浙江
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第五章大数律及中心极限定理.ppt

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* 第五章大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 5.1 大数定律上一页下一页返回例5.1.1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率. 2 2、大数定律定义定义5.1.1 设{Xn}为随机变量序列，若对任意的有则称{Xn}服从大数定律。定理 5.1.1 上一页下一页返回契比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的随机变量将比较密的聚集在它的数学期望的附近，它与数学期望之差依概率收敛到0. 定理5.1.2 上一页下一页返回或证明：设Xi表示第 i 次试验中事件A出现的次数，i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为p的 (0-1)分布，故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n且，由契比雪夫大数定律知，对于任意的，有（贝努利大数定律）以nA是n次独立重复试验中事件A出现的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率 (0p1),则对任意的? 0有: 定理5.1.3 上一页下一页返回说明：1、贝努里大数定律从理论上证明了大量重复独立试验中，事件A发生的频率具有稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有实际意义； 2、贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件的概率的方法。定理5.1.4（马尔可夫大数定律）对随机变量序列{Xn}，若马尔可夫条件成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意的，式(5.1.2)成立。例5.1.2 设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序列，且Xn仅与Xn-1和Xn+1相关，而与其他的Xi不相关，试问该随机变量序列{Xn}是否服从大数定律？ (辛钦大数定律)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,… 相互独立,服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)=? (i=1,2,…) ，则对于任意正数?,有定理5.1.5 上一页下一页返回 5.2 中心极限定理定义5.2.1 若独立随机变量序列X1 ,X2 ,…,Xn ,…的标准化和使得恒成立，则称随机变量序列{Yn}服从中心极限定理（The Central Limit Theorem）。 (独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差，E(Xk)=?, D(Xk)=? 2?0( k=1,2,…).则随机变量定理5.2.1 的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有上一页下一页返回说明：定理5.2.1称为林德贝格——勒维(Lindeberg-Levy)中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限定理例5.2.1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率. (李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,它们具有数学期望和方差: 定理5.2.2 上一页下一页返回上一页下一页返回定理5.2.3 上一页下一页返回例5.2.2某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中：保险公司亏本的概率是多少？? ?保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？上一页下一页返回 P{X120}=1- 解：设这10000人中一年内死亡的人数为X，则X~b(10000,0.006),保险公司一年收取10000×12=120000元保险费，故仅当每年死亡人数超过120人时公司才会亏本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为P{X120}及。上一页下一页返回